Identitätsabbildung

In der Mathematik ist eine identische Abbildung oder die Identität eine Funktion, die genau ihr Argument zurückgibt, also salopp gesagt "nichts tut".

Ist M eine Menge, dann ist die identische Funktion auf M definiert als eine Funktion mit Definitionsbereich und Zielmenge M:

$\operatorname{id}_M: M \rightarrow M$ mit $\operatorname{id}_M(x) = x$ für alle $x\in M$.

Der Index wird häufig weggelassen, wenn aus dem Kontext die Definitionsmenge hervorgeht. In diesem Fall wird auch 1 statt $\operatorname{id}$ geschrieben. Statt der Notation $\operatorname{id}$ wird manchmal die Schreibweise $\operatorname{Id}$ benutzt.

Ist $f: M \rightarrow N$ eine beliebige Funktion, dann gilt für die Komposition (Hintereinanderausführung) mit der Identität:

$f \circ \operatorname{id}_M = \operatorname{id}_N\circ f$.

In der Menge aller Funktionen von M nach M ist also die Identität das neutrale Element bezüglich der Komposition (diese Funktionen bilden ein Monoid).

Die Identität $\operatorname{id}_\N$ auf der Menge der natürlichen Zahlen ist eine multiplikative Funktion, die in der Zahlentheorie betrachtet wird.

Auf einem Banachraum ist die Identität eine stetige Funktion. Ist der Banachraum zusätzlich endlich-dimensional, so ist die Identität kompakt.

Siehe auch

• Einbettung
• Identität
• Einheitsmatrix