Impulsdarstellung

Der Ortsoperator gehört in der Quantenmechanik zur Ortsmessung von Teilchen.

Der physikalische Zustand $\Psi\,$ eines Teilchens ist in der Quantenmechanik mathematisch durch einen zugehörigen Vektor eines Hilbertraumes H gegeben. Dieser Zustand wird folglich in der Bra-Ket-Notation durch den Vektor $|\Psi \rangle$ beschrieben. Die Observablen werden durch selbstadjungierte Operatoren auf H dargestellt. Speziell ist der Ortsoperator die Zusammenfassung der drei Observablen $\hat{\mathbf{x}}=(\hat{x}_1,\hat{x}_2,\hat{x}_3)$, so dass

$E(\hat{x}_j)=\langle \Psi|\hat{x}_j|\Psi\rangle\ ,\quad j=1,2,3$

der Mittelwert (Erwartungswert) der Meßergebnisse der j-ten Ortskoordinate des Teilchens im Zustand $\,\Psi$ ist.

Definition und Eigenschaften

• Die drei Ortsoperatoren sind selbstadjungierte Operatoren $\hat{x}_j$, die mit den ebenfalls selbstadjungierten Impulsoperatoren $\hat{p}_k$ die folgenden, kanonischen Vertauschungsrelationen erfüllen,

$[\hat{x}_j,\hat{p}_k]=\mathrm i\,\hbar\,\delta_{jk}\ ,\quad [\hat{x}_j,\hat{x}_k]= 0 = [\hat{p}_j,\hat{p}_k]\ ,\quad j,k\in \{1,2,3\}\,.$

• Daraus folgt, dass die drei Ortskoordinaten gemeinsam messbar sind und dass ihr Spektrum (Bereich der möglichen Messwerte) aus dem gesamten Raum $\mathbb{R}^3$ besteht. Die möglichen Orte sind also nicht quantisiert, sondern kontinuierlich.
• Die Ortsdarstellung ist durch die Spektraldarstellung des Ortsoperators definiert. Der Hilbertraum H ist der Raum der quadratintegrierbaren, komplexen Funktionen des Ortsraums $\mathbb{R}^3$, jeder Zustand Ψ ist durch eine Ortswellenfunktion $\psi(\mathbf{x})$ gegeben. Die Ortsoperatoren $\hat{\mathbf{x}}=(\hat{x}_1,\hat{x}_2,\hat{x}_3)$ sind die Multiplikationsoperatoren mit den Koordinatenfunktionen, das heißt, der Ortsoperator $\hat{x}_j$ wirkt auf Ortswellenfunktionen ψ(x) durch die Multiplikation der Wellenfunktion mit der Koordinatenfunktion x_j

$(\hat{x}_j\, \psi)(\mathbf{x})= x_j\, \psi(\mathbf{x})\,.$

Der Erwartungswert ist

$E(\hat{x}_j)=\langle \Psi|\hat{x}_j|\Psi\rangle= \int \overline{\psi(\mathbf{x})}\,x_j\, \psi(\mathbf{x})\, \mathrm d^3 x\,.$

Der Impulsoperator wirkt auf Ortswellenfunktionen (bei geeigneter Wahl der Phasen) als Differentialoperator

$\bigl(\hat{p}_k\psi \bigr)(\mathbf x)=-\mathrm i\, \hbar\,\bigl(\frac{\partial}{\partial x_k} \psi \bigr)(\mathbf x)\,.$

• In der Impulsdarstellung wirkt der Impulsoperator multiplikativ auf Impulswellenfunktionen $\tilde{\psi}(\mathbf{p})$

$(\hat{p}_k\,\tilde{\psi})(\mathbf{p})=p_k\,\tilde{\psi}(\mathbf{p})$

und der Ortsoperator wirkt als Differentialoperator

$(\hat{x}_j\,\tilde{\psi})(\mathbf{p})=\mathrm i\, \hbar\,\frac{\partial} {\partial p_j}\tilde{\psi}(\mathbf{p})\,.$