- Dirac-Schreibweise
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Die Kunstwörter Bra und Ket bezeichnen eine spezielle Tensornotation, die insbesondere zur Bezeichnung von Zustandsvektoren in der Quantenmechanik verwendet wird. Der Vorteil dieser Notation besteht darin, dass sie koordinatenfrei ist. Die Gleichungen lassen sich ganz allgemein aufschreiben und man kann später die Koordinaten wählen, die für die Lösung des Problems am besten geeignet sind.
Paul Dirac selbst erfand sowohl die Schreibweise als auch die Benennung, die auf die spitze Klammer (bracket) anspielt, mit der man oft das Skalarprodukt
zweier Vektoren bezeichnet.
In der Bra-Ket-Notation schreibt man die Vektoren eines Vektorraums V auch außerhalb eines Skalarprodukts mit einer spitzen Klammer als Ket
. Jedem Ket
entspricht ein Bra
, das dem Dualraum V * angehört, also eine lineare Abbildung von V in den zu Grunde liegenden Körper K repräsentiert, und umgekehrt. Das Ergebnis der Operation eines Bras
auf einen Ket
wird
geschrieben, womit der Zusammenhang mit der konventionellen Notation des Skalarprodukts hergestellt ist.
Die mathematische Rechtfertigung für die Bra-Ket-Notation ergibt sich aus einem Satz, den F. Riesz und M. Fréchet 1907 unabhängig voneinander bewiesen. Er besagt unter anderem, dass ein Hilbertraum und sein topologischer Dualraum isometrisch isomorph zueinander sind.
Inhaltsverzeichnis
Beispiele
Durch die Notation
kann ein Elektron im Zustand 1s mit Spin up des Wasserstoffatoms bezeichnet werden.
Der Polarisationszustand eines Photons kann als Überlagerung zweier Basiszustände, z. B.
(vertikal polarisiert) und
(horizontal polarisiert) interpretiert werden:
Skalarprodukt
Das Skalarprodukt eines Bra
mit einem Ket
wird in Bra-Ket Notation geschrieben als
Für beliebige komplexe Zahlen c1 und c2 gilt:
-
(Linearität)
-
(Antilinearität)
Aufgrund der Dualitätsbeziehung gilt weiterhin
(komplexe Konjugation)
Tensorprodukt
Das Tensorprodukt eines Ket
mit einem Bra
wird geschrieben als
Im Fall gewöhnlicher Vektoren entspricht das Tensorprodukt einer Matrix.
Für eine vollständige Orthonormalbasis
führt die Operation
eine Projektion auf den Basiszustand
aus. Dies definiert den Projektionsoperator auf den Unterraum des Zustands
:
Eine besonders wichtige Anwendung der Multiplikation von Ket mit Bra ist der Einheitsoperator I, der sich als Summe über die Projektionsoperatoren ergibt als
Für eine kontinuierliche Basis ist statt der Summe ein Integral zu bilden. So erhält man beispielsweise für den Ortsraum die Summe über die ganze orthogonale Basis und damit den Einheitsoperator als Integral über den ganzen
:
Darstellungen in der Quantenmechanik
In der Quantenmechanik arbeitet man häufig mit Projektionen von Zustandsvektoren auf eine bestimmte Basis anstatt mit den Zustandsvektoren selbst.
Die Projektion auf eine bestimmte Basis wird Darstellung genannt. Ein Vorteil davon ist, dass die so erhaltenen Wellenfunktionen komplexe Zahlen sind, für die der Formalismus der Quantenmechanik als partielle Differentialgleichung geschrieben werden kann.
- Darstellung im Ortsraum (Ortsdarstellung):
Sei
ein Eigenzustand des Ortsoperators
mit der Eigenschaft
.
Die Wellenfunktion
ergibt sich durch Projektion als
Das Skalarprodukt im Ortsraum ist
- Darstellung im Impulsraum (Impulsdarstellung):
Sei
ein Eigenzustand des Impulsoperators
mit der Eigenschaft
.
Die Wellenfunktion
ergibt sich durch Projektion als
Das Skalarprodukt im Impulsraum ist
- Erwartungswert des Operators
im Ortsraum:
Siehe auch
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