Schrödingergleichung

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Die Schrödingergleichung ist neben der Bornschen Regel eine Grundgleichung für die Dynamik von Quantensystemen. Sie beschreibt die zeitliche Entwicklung des System-Zustands (synonym: Wellenfunktion), solange das System sich selbst überlassen ist und keine Messung vorgenommen wird.

Die Gleichung wurde 1926 von Erwin Schrödinger (1887–1961) zuerst als Wellengleichung aufgestellt^[1] und schon bei ihrer ersten Anwendung erfolgreich zur Erklärung der Spektren des Wasserstoffatoms genutzt.

Die Schrödingergleichung besagt, dass die zeitliche Veränderung eines Zustands durch seine Energie bestimmt ist. In der Gleichung tritt die Energie nicht einfach als Zahl auf, sondern als Operator (Hamiltonoperator), der auf den Zustand angewandt wird:

$\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t} |\,\psi (t) \rangle = \hat{H} |\,\psi (t) \rangle$

Darin ist

• $\mathrm{i}\,$ die imaginäre Einheit
• $\hbar$ die reduzierte Plancksche Konstante

• $\frac{\partial}{\partial t}$ die partielle Ableitung nach der Zeit

• $|\,\psi (t) \rangle$ das Symbol für den Zustand des Systems zum angegebenen Zeitpunkt

• $\hat{H}$ der für das System maßgebliche Hamiltonoperator.

Wenn das Quantensystem ein klassisches Analogon hat (z. B. Teilchen im 3-dimensionalen Raum), lässt sich der Hamiltonoperator nach rezeptartigen Regeln aus der klassischen Hamiltonfunktion gewinnen. Die kinetische Energie „wirkt“ dann in der Weise, dass das Teilchen aus einem Zustand am Ort (x,y,z) an benachbarte Orte versetzt wird. Für manche Systeme werden Hamiltonoperatoren auch direkt nach quantenmechanischen Gesichtspunkten konstruiert (Beispiel: Hubbard-Modell).

Als Spezialfall der zeitlichen Entwicklung beschreibt die Schrödingergleichung die Zustände eines Quantensystems, die sich mit der Zeit nicht ändern (stationäre Zustände), und ermöglicht die Berechnung der durch solche Zustände definierten Energie-Niveaus.

Die Schrödingergleichung bildet das Fundament für fast alle praktischen Anwendungen der Quantenmechanik. Seit 1926 gelang mit ihr die Erklärung vieler Eigenschaften von Atomen und Molekülen (bei denen die Elektronenwellenfunktionen als Orbitale bezeichnet werden) sowie von Festkörpern (Bändermodell).

Einfachste Beispiele

Die beiden folgenden Beispiele orientieren sich an den Feynman Lectures^[2].

Eingefrorenes System

Bei diesem Quantensystem passiert überhaupt nichts – außer dass die Zeit weiterläuft, denn das ist nach der Planckschen Formel

$E = \hbar\omega$

die Voraussetzung dafür, dass das System eine definierte Energie haben kann. Nach der Formel ist Energie äquivalent zu einer Frequenz; und eine genau definierte Frequenz erfordert eine harmonische Schwingung von unendlicher Dauer. Dieser Fall ist beim eingefrorenen System in reiner Form realisiert. Das System befindet sich naturgemäß in einem stationären Zustand. Der Hamiltonoperator ist dann die Energie, und seine Wirkung auf den Zustand besteht nur in einer zahlenmäßigen Multiplikation. Die Schrödingergleichung lautet

$\mathrm{i}\hbar\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} |\,\psi (t) \rangle = E |\,\psi (t) \rangle$

Die Lösung der Gleichung, unter Verwendung der Eulerschen Formel, ist

$|\,\psi (t) \rangle = e^{-i\omega t}|\,\psi (0) \rangle$

In der Lösung tritt ein Zahlenfaktor auf, der mit der Kreisfrequenz $\omega\,$ in der komplexen Zahlenebene rotiert. Bei allen sich selbst überlassenen Quantensystemen tritt die Plancksche Frequenz in solchen Vorfaktoren $e^{-i\omega t}\!\,$ auf.

Hüpfen zwischen zwei Orten

Dies ist das einfachste Modell für einen chemischen Bindungszustand. Ein Elektron ist an einen Atomkern 1 gebunden und befindet sich im Zustand $|\!\,1\rangle$, oder aber an einen Atomkern 2 und befindet sich im Zustand $|\!\,2\rangle$. Wenn keine Übergänge möglich sind, gilt jeweils die „eingefrorene“ Schrödingergleichung. Wenn Übergänge von $|\!\,1\rangle$ nach $|\!\,2\rangle$ möglich sind, muss der Hamiltonoperator bei Anwendung auf Zustand $|\!\,1\rangle$ eine Beimischung von Zustand $|\!\,2\rangle$ erzeugen, und analog für Übergänge von $|\!\,2\rangle$ nach $|\!\,1\rangle$. Ein Parameter $\epsilon\,$ bestimmt die Übergangsrate. Das System wird dann wie folgt modelliert:

$\begin{array}{l} \hat{H} |1\rangle = E |1\rangle + \epsilon|2\rangle \\ \hat{H} |2\rangle = E |2\rangle + \epsilon|1\rangle \end{array}$

Durch Addition und Subtraktion dieser Gleichungen sieht man, dass es neue stationäre Zustände in Form von Superpositionen aus $|\!\,1\rangle$ und $|\!\,2\rangle$ gibt:

$|+\rangle = |1\rangle + |2\rangle ~~~~~~~~~ |-\rangle = |1\rangle - |2\rangle$

denn für diese findet man mit elementarer Algebra

$\hat{H}|+\rangle = (E + \epsilon) |+\rangle ~~~~~~~~~ \hat{H}|-\rangle = (E - \epsilon) |-\rangle$

Die Vorfaktoren der stationären Zustände werden wieder als messbare Energien interpretiert. Eine der beiden Energien (je nach Vorzeichen von $\epsilon\,$) ist kleiner als das ursprüngliche $E\,$. Der entsprechende Superpositionszustand ist der Bindungszustand des Moleküls.

Teilchen im 3-dimensionalen Raum

Die komplexwertige Wellenfunktion $\psi(\mathbf{r},t)$ eines Punktteilchens in einem Potential V ist eine Lösung der Schrödingergleichung

$\mathrm i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(\mathbf{r},t) \;=\; \left(- \frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V(\mathbf{r},t)\right)\psi(\mathbf{r},t)$,

wobei m die Masse des Teilchens, $\mathbf{r}$ sein Ort, Δ der Laplace-Operator und t die Zeit sind. Das Potential wird hier der Einfachheit halber zunächst als ein skalares Potential angenommen. Die Konstante $\hbar=h/2 \pi$, sprich „h-quer“, berechnet sich aus dem Wirkungsquantum h; i ist die imaginäre Einheit. Bei einem freien Teilchen, auf welches keine äußeren Kräfte einwirken, gilt $V(\mathbf{r},t) = 0$.

Wenn das Potential nicht von der Wellenfunktion abhängt, was in vielen vereinfachten Anwendungsfällen gilt, ist die Schrödingergleichung linear, so dass das Superpositionsprinzip für die Lösungen gilt: Wenn ψ₁ und ψ₂ Lösungen sind, so ist auch $\alpha \,\psi_1 + \beta \,\psi_2$ eine Lösung, wobei α und β beliebige komplexe Konstanten sind. Die Schrödingergleichung ist dann mathematisch gesehen eine lineare, partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung.

Mit dem Hamilton-Operator

$\hat H = -\frac{\hbar^2}{2m} \Delta + V(\mathbf{r},t)$

lässt sich die Schrödingergleichung in ihrer allgemeinen Form

$\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi(\mathbf{r},t) = \hat H \psi(\mathbf{r},t)$

schreiben.

Heuristische Herleitung

Die Schrödingergleichung ist, wie die Newtonschen Axiome in der klassischen Physik, ein Postulat und lässt sich deshalb auch nicht mathematisch streng herleiten. Vielmehr wurde die Gleichung 1926 von Schrödinger, unter Berücksichtigung gewisser physikalischer Prinzipien und gestützt auf die bereits zu seiner Zeit bekannten quantenmechanischen Phänomene, als neue Theorie postuliert. Manche Autoren heben hier auch die starke Anlehnung an die Prinzipien der Optik hervor.

Mathematisch gesehen entsteht die Schrödingergleichung in der Ortsdarstellung nach dem Korrespondenzprinzip aus der Hamiltonfunktion (Ausdruck für die Energie) des betrachteten Problems.

$E = \frac{\mathbf{p}^2}{2m} + V(\mathbf{r},t)$

durch Ersetzen der klassischen Größen Energie, Impuls und Ort durch die entsprechenden quantenmechanischen Operatoren (Korrespondenzprinzip):

$\begin{matrix} E &\rightarrow& \hat E &=& \mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t} \\ \mathbf{p} &\rightarrow& \mathbf{\hat p} &=& -\mathrm{i}\hbar \nabla \\ \mathbf{r} &\rightarrow& \mathbf{\hat r} &=& \mathbf{r}\end{matrix}$

Anschließendes Anwenden auf die unbekannte Wellenfunktion $\psi=\psi(\mathbf{r},t)$ ergibt

$\mathrm i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = - \frac{\hbar^2}{2m}\Delta \psi + V \psi$.

Auf die gleiche Weise kann die Hamilton-Funktion in einen Hamilton-Operator umgewandelt werden.

Historisch gesehen ging Schrödinger von Louis de Broglies Beschreibung freier Teilchen aus und führte in seiner Arbeit Analogien zwischen Atomphysik und elektromagnetischen Wellen, in Form von De-Broglie-Wellen, ein:

$\psi(\mathbf{r},t) = A \; \exp \left(-\frac{\mathrm{i}}{\hbar} \; (E t - \mathbf{p}\cdot \mathbf{r})\right)$,

wobei A eine Konstante ist. Diese Wellenfunktion ist eine Lösung der eben genannten Schrödingergleichung mit $V(\mathbf{r},t) = 0$. Die physikalische Bedeutung der Wellenfunktion bleibt dabei vorerst offen. In der üblichen statistischen Interpretation der Quantenmechanik (begründet von Max Born) gibt ihr Betragsquadrat | ψ | ² die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Teilchens an.

Eine völlig andere Möglichkeit, die Schrödingergleichung aufzustellen, benutzt den von dem US-amerikanischen Physiker und Nobelpreisträger Richard Feynman eingeführten Begriff des Pfadintegrals. Diese alternative Herleitung betrachtet die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Bewegungen (Pfade) des zu untersuchenden Teilchens von einem Ort A nach B und führt damit wieder zu derselben Schrödingergleichung.

Normierung der Wellenfunktion

Für die statistische Interpretation der Quantenmechanik ist es notwendig, die Lösungen der Schrödingergleichung so zu normieren, dass

$\int_{\mathbb{R}^3} |\psi(\mathbf{r},t)|^2\;\mathrm{d}^3r = 1$

ist. Diese sogenannte Normierungsbedingung sagt aus, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen irgendwo im gesamten Raum zu finden ist, bei 1 liegt. Für die so erhaltenen normierten Lösungen entspricht dann $|\psi(\mathbf{r},t)|^2 = \psi^* \psi$ der Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Teilchens am Ort $\mathbf{r}$ zum Zeitpunkt t. Allerdings ist nicht jede Lösung einer Schrödingergleichung normierbar. Sofern existent, ist diese normierte Lösung bis auf einen Phasenfaktor der Form e^(iK) für ein reelles K, das aber physikalisch bedeutungslos ist, eindeutig bestimmt.

Aus der Tatsache, dass die Schrödinger-Gleichung invariant ist unter der Phasentransformation $\psi(\mathbf{r},t)\rightarrow\psi^\prime(\mathbf{r},t)=e^{i\alpha}\psi(\mathbf{r},t)$ (U(1)-Symmetrie) folgt mittels des Noether-Theorems die Erhaltung der Normierung, d. h. die Wahrscheinlichkeit ist eine Erhaltungsgröße.

Erwartungswerte von Messgrößen

Aus der so gefundenen Wellenfunktion ergeben sich nun alle gesuchten physikalischen Eigenschaften des Teilchens. Beispielsweise wird der klassische Wert für den Ort des Teilchens $\mathbf{r}(t)$ durch den mittleren Ort des Teilchens zur Zeit t, also

$\mathbf{r}(t)\rightarrow \langle\mathbf{\hat r}\rangle(t) = \int_{}^{} \mathbf{r} |\psi(\mathbf{r},t)|^2 \mathrm{d}^3r$

ersetzt, während der klassische Wert für den Impuls des Teilchens durch folgenden Mittelwert ersetzt wird:

$\mathbf{p}(t)\rightarrow \langle\mathbf{\hat p}\rangle(t) = \int_{}^{} \psi^*(\mathbf{r},t)(-\mathrm{i}\hbar \nabla)\psi(\mathbf{r},t) \mathrm{d}^3r$ .

Im Prinzip wird also jede klassische Messgröße f(r,p,t) durch eine Mittelung des zugehörigen Operators über den Raum, in dem sich das Teilchen befindet, ersetzt:

$f(\mathbf{r}(t),\mathbf{p}(t),t)\rightarrow \langle\hat f\rangle(t) = \int_{}^{} \psi^*(\mathbf{r},t)f(\mathbf{\hat r},\mathbf{\hat p},t)\psi(\mathbf{r},t) \mathrm{d}^3r$.

Der Ausdruck <f> wird auch als Erwartungswert von f bezeichnet. Der Erwartungswert der Energie ist gleich <H>.

Verschiedene Darstellungen der Schrödingergleichung

Orts- und Impulsdarstellung

Die bekannteste und wichtigste Darstellung der Schrödingergleichung ist die Ortsdarstellung:

$\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(\mathbf{r},t)\;=\;-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}\psi(\mathbf{r},t)+V(\mathbf{r},t)\psi(\mathbf{r},t)$

Eine weitere wichtige Darstellung ist die Impulsdarstellung:

$\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}\phi(\mathbf{p},t)\;=\;\frac{\mathbf{p}^{2}}{2m}\phi(\mathbf{p},t)+(2\pi\hbar)^{-\frac{3}{2}}\int\tilde{V}(\mathbf{p}-\mathbf{p}',t)\,\phi(\mathbf{p}',t)\,\mathrm{d}^{3}p'$

Orts- und Impulsdarstellung gehen mittels Fouriertransformation ineinander über:

$\phi(\mathbf{p},t)=(2\pi\hbar)^{-\frac{3}{2}}\int\psi(\mathbf{r},t)\,e^{-\frac{i}{\hbar}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}\,\mathrm{d}^{3}r$     bzw.     $\tilde{V}(\mathbf{p},t)=(2\pi\hbar)^{-\frac{3}{2}}\int V(\mathbf{r},t)\,e^{-\frac{i}{\hbar}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}\,\mathrm{d}^{3}r$

$\psi(\mathbf{r},t)=(2\pi\hbar)^{-\frac{3}{2}}\int \phi(\mathbf{p},t)\,e^{\frac{i}{\hbar}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}\,\mathrm{d}^{3}p$       bzw.       $V(\mathbf{r},t)=(2\pi\hbar)^{-\frac{3}{2}}\int \tilde{V}(\mathbf{p},t)\,e^{\frac{i}{\hbar}\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}\,\mathrm{d}^{3}p$

Darstellungsunabhängige Form

In der darstellungsunabhängigen Form wird ein quantenmechanischer Zustand durch einen Vektor in einem komplexen unitären Hilbertraum $\mathcal{H}$ beschrieben. Meist wird die Dirac-Notation mit Bra und Ket verwendet. Die darstellungsunabhängige Schreibweise erleichtert den Übergang zur mathematischen Behandlung der Quantenmechanik, wobei Begriffe der Funktionalanalysis verwendet werden. Die Struktur des Hilbertraums wird durch das betrachtete System bestimmt. Für die Beschreibung des Spins eines Teilchens mit Spin 1/2 ist der Hilbertraum beispielsweise zweidimensional $\mathcal{H}=\mathbb{C}^{2}$, für ein Teilchen im Kasten mit unendlich hohen Wänden oder für einen harmonischen Oszillator ist seine Dimension abzählbar unendlich $\mathcal{H}=\mathbb{C}^{\infty}$. Ein freies Teilchen wird in einem (uneigentlichen) Hilbertraum mit überabzählbar unendlicher Dimension beschrieben.

Die darstellungsunabhängige Form der Schrödingergleichung für einen Hilbertraum-Vektor $|\psi\rangle$ (ket) ist

$\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle=\hat{H}|\psi(t)\rangle$,

und für einen dualen Hilbertraum-Vektor $\langle\psi|$ (Bra)

$-\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}\langle\psi(t)|=\langle\psi(t)|\hat{H}$

Der Hamiltonoperator bei Abwesenheit von Magnetfeldern ist

$\hat{H}=\frac{\mathbf{\hat{p}}^{2}}{2m}+V(\mathbf{\hat{r}},t)$

wobei hier die Operatoren $\mathbf{\hat p}$ und $\mathbf{\hat r}$ ebenfalls als basisunabhängig anzusehen sind.

Die Zeitentwicklung der Zustände wird wie in der obigen Gleichung durch die Anwendung eines Hamiltonoperators $\hat{H}$ auf die Zustände beschrieben. „Ausintegriert“ erhält man den Zeitentwicklungsoperator:

$|\psi(t)\rangle=\hat{U}(t)|\psi(0)\rangle$

Der Zeitentwicklungsoperator hat für zeitunabhängige Hamiltonoperatoren $\tfrac{\partial}{\partial t}H=0$ die einfache Form:

$\hat{U}(t)=\exp(-\frac{i}{\hbar}\hat{H}\, t)$

Die Norm eines Zustands ist gleich der L²-Norm, die durch das Skalarprodukt induziert wird:

$||\psi(t)||=\sqrt{\langle\psi(t)|\psi(t)\rangle}$

Die Wahrscheinlichkeitserhaltung (Erhaltung der Norm des Zustands) drückt sich durch die Unitarität des Zeitentwicklungsoperators $\hat{U}$ aus, was wiederum darauf beruht, das $\hat{H}$ selbstadjungiert ist. Mit $|\psi(t)\rangle=U(t)|\psi(0)\rangle$ und $\langle\psi(t)|=\langle\psi(0)|U^{\dagger}(t)$ folgt:

$\langle\psi(t)|\psi(t)\rangle=\langle\psi(0)|U^{\dagger}(t)U(t)|\psi(0)\rangle\overset{!}{=}\langle\psi(0)|\psi(0)\rangle\quad$

$\Longleftrightarrow\quad U^{\dagger}(t)U(t)=1\quad$

$\Longleftrightarrow\quad H^{\dagger}(t)=H(t)$

Setzt man die Erhaltung der Wahrscheinlichkeitsdichte in der Theorie voraus, so muss der Zeitentwicklungsoperator also unitär sein. Die Änderung eines zeitabhängigen Zustandes $|\psi(t)\rangle=\hat{U}(t)|\psi(0)\rangle$ wird daher durch einen anti-hermiteschen Operator bestimmt, wodurch man bereits vor Kenntnis der Schrödingergleichung ohne Beschränkung der Allgemeinheit $\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle=(-\frac{i}{\hbar}\hat{H})|\psi(t)\rangle$ ansetzen kann. Damit reduziert sich das Postulieren der Schrödingergleichung auf die Bestimmung der Gestalt des hermiteschen Operators $\hat{H}$.

Die Hermitezität ist im Übrigen eine Forderung, die an alle Operatoren der Quantenmechanik gestellt wird, die nach dem Korrespondenzprinzip Messergebnisse repräsentieren. Da Messergebnisse stets reell sein müssen, kommen als zugeordnete Operatoren nur hermitesche Operatoren in Frage. Solche Operatoren werden auch Observablen genannt.

Erläuterungen

Während die Bahn eines klassischen Teilchens $\mathbf{r}(t)$ über die klassische Newtonsche Bewegungsgleichung

$m \frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}(t)}{\mathrm{d} t^2} = - \nabla V(\mathbf{r}(t),t)$

genau festgelegt ist, erscheint in der Quantenmechanik der Ort eines Teilchens nur noch als Erwartungswert mit Verteilungsfunktionen ψ, die durch die Schrödingergleichung gegeben sind. Es wird deswegen gerne auch anschaulich davon gesprochen, dass das Teilchen über den Raum delokalisiert sei. Ist die Breite des Wellenpakets, das das Teilchen beschreibt, genügend klein, kann mit Hilfe der Schrödingergleichung die Newtonsche Bewegungsgleichung als Grenzfall hergeleitet werden. Das gleiche Resultat ergibt sich auch durch die Limesbildung $\hbar \rightarrow 0$ und ist in der Physik als Ehrenfest-Theorem bekannt. Dieses Theorem trug maßgeblich dazu bei, die Schrödingergleichung als seriöse, physikalische Theorie zu etablieren.

In der Schrödingergleichung kommen die Wellenfunktion und die Operatoren im sogenannten Schrödinger-Bild vor. Im Heisenberg-Bild werden stattdessen Bewegungsgleichungen für die Operatoren selbst betrachtet. Diese Bewegungsgleichungen werden dann auch als Heisenbergsche Bewegungsgleichung bezeichnet. Beide Gleichungen sind physikalisch gleichwertig.

Die Schrödingergleichung ist einerseits deterministisch, das heißt, dass die Lösungen bei Vorgabe von genügend Anfangs- und Randwertbedingungen genau bestimmt sind. Andererseits ist deren Lösung ψ jedoch nach der Kopenhagener Deutung eine statistische Größe und macht folglich auch nur Aussagen über die Mittelwerte von Messergebnissen in gleichartigen Versuchsanordnungen. Nach der Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik liegt dies nicht an einem Mangel der Messanordnung oder des Experimentators, sondern ist durch die Physik und die Natur der atomaren Teilchen selbst bedingt.

Mit der Formulierung der Schrödingergleichung wurde die Ad-hoc-Konstruktion des Bohrschen Atommodells überwunden. Die dort nur postulierten diskreten Energieniveaus der Elektronen in Atomen ergeben sich hier aus der Lösung einer partiellen Differentialgleichung und zwar der bereits genannten Schrödingergleichung mit $\tfrac 1r$-Potential beim Wasserstoffatom. Der nächste Abschnitt soll diesen Zusammenhang noch genauer erläutern.

Lösung der Schrödingergleichung

Die Lösungen der Schrödingergleichung werden zwar normalerweise als Wellenfunktion bezeichnet, haben aber nicht immer Ähnlichkeit mit einer klassischen Wellenfunktion. Deshalb sollen im Folgenden die Lösungen noch genauer vorgestellt werden.

• Im Falle eines Hamiltonoperators H = H(r,t), der explizit von der Zeit abhängt, ist eine Anfangswert-Aufgabe zu lösen. Sind die Masse m des Teilchens, das von außen angelegte Potential V(r,t), die Anfangsbedingung $\psi (\mathbf{r}, t_0)$ zum Zeitpunkt t₀ sowie die Randbedingungen von ψ für t > t₀ bekannt, so ergibt sich für den betrachteten Raum und für alle Zeiten t > t₀ die Wellen-Funktion ψ(r,t) als Lösung der Schrödinger-Gleichung.

• Im Falle eines zeitunabhängigen Hamiltonoperators H = H(r) und damit auch zeitunabhängiger Potentiale V = V(r) und fester Ränder stellt die Lösung der Schrödingergleichung ψ = ψ(r,t) dagegen einen sogenannten stationären Zustand oder eine Überlagerung stationärer Zustände dar. Diese Zustände ergeben sich als Lösung der folgenden Randwertaufgabe. Durch eine Separation der Variablen gemäß dem Ansatz

$\psi(\mathbf{r},t) = \Phi(\mathbf{r}) \chi(t) := \Phi(\mathbf{r}) \cdot \exp\!\left({-\frac{\mathrm{i}}{\hbar} E t}\right)$

mit dem reellen Parameter E, der hier für die Energie des stationären Zustandes steht, gelangt man sofort zu der folgenden zeitunabhängigen Schrödingergleichung:

$\; - \frac{\hbar^2}{2m}\Delta\Phi(\mathbf{r}) + V(\mathbf{r})\Phi(\mathbf{r}) = E \Phi(\mathbf{r})$.

Zusammen mit den Randbedingungen an ψ(r) bildet die zeitunabhängige Schrödingergleichung eine sogenannte Eigenwertaufgabe, bei der die Energieeigenwerte E und die zugehörigen Eigenfunktionen ψ(r) zu bestimmen sind. Ein einfaches Beispiel solch einer Eigenwertaufgabe bildet ein Elektron in einem Kasten ohne Potential und undurchdringlichen Rändern.

Wie im eben gezeigten Falle der Zeitkoordinate kann für einfache Probleme häufig nach Wahl eines geeigneten Koordinatensystems auch für die Ortskoordinaten ein Separationsansatz gefunden werden. Insbesondere gilt das für Probleme mit Kugelsymmetrie (symmetrisch unter Drehungen um einen Punkt) und Zylindersymmetrie (symmetrisch unter Drehungen um eine Achse). Die Schrödingergleichung reduziert sich dann von einer partiellen auf eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung. Der Vektorraum der Lösungen dieser gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung wird von zwei linear unabhängigen Fundamentallösungen aufgespannt.

Die Schrödingergleichung lässt sich für einige einfache Potentiale exakt lösen, z. B.:

• das Teilchen im Kasten,
• der Potentialtopf
• das Teilchen im kugelsymmetrischen Coulomb-Potential (Wasserstoffatom),
• die Potentialbarriere (ergibt Tunneleffekt),
• das harmonische Potential (harmonischer Oszillator) und das Morse-Potential.

Bei komplizierteren Potentialen ist eine exakte Lösung meist nicht mehr möglich und es wird eine Form der Störungstheorie angewandt. Das heißt man unterteilt, wenn möglich, den Hamiltonoperator der Schrödingergleichung in einen Teil $\,H_0$, von dem die Lösung bekannt ist, und einen kleinen Restterm $\,H_s$ und entwickelt dann die Lösung als Störungsreihe aus der bekannten Lösung.

Eine einfache Möglichkeit Näherungslösungen der stationären Schrödingergleichung in Bereichen zu finden, in denen sich das Potential über die mittlere Wellenlänge des Teilchens nur wenig ändert, ist die WKB-Näherung.

Bei Systemen mit mehreren Teilchen in einem Potential oder allgemein bei mehreren (untereinander wechselwirkenden) Teilchen muss die Schrödingergleichung vereinfacht (z. B. Born-Oppenheimer-Näherung in der Molekülphysik) oder approximativ gelöst werden. Ist trotz der Vereinfachung eine analytische Lösung immer noch unmöglich, wie z. B. bei den meisten Atomen und allen Molekülen, so müssen z. B. iterative Näherungsverfahren oder andere numerische Verfahren verwendet werden. Im Vielteilchenfall (z. B. im Bereich der Theoretischen Chemie) werden hierfür oft die Hartree-Fock-Methode und ihre Erweiterungen verwendet.

Lagrangedichte der Schrödingergleichung

Eine Lagrangedichte der Schrödingergleichung lautet

$\mathcal{L}\left(\psi, \mathbf{\nabla}\psi, \dot{\psi}\right) = \mathrm i\hbar\, \frac{1}{2} (\psi^{*}\dot{\psi}-\dot{\psi^{*}}\psi) - \frac{\hbar^2}{2m} \mathbf{\nabla}\psi^{*} \mathbf{\nabla}\psi - V( \mathbf{r},t)\,\psi^{*}\psi$

Die Schrödingergleichung folgt aus diesem Funktional in Analogie zur Punktmechanik aus den Lagrange’schen Bewegungsgleichungen

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi^{*}} - \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\frac{\partial \psi^{*}}{\partial t}} - \sum_{j=1}^3 \frac{\partial}{\partial x_j} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\frac{\partial \psi^{*}}{\partial x_j}} = 0$

Der Unterschied zur klassischen Mechanik besteht darin, dass in der Lagrangeformulierung einer Feldtheorie nach den Feldern und deren raumzeitlichen Ableitungen differenziert wird (Funktionalableitung) und nicht etwa nach Ort und Geschwindigkeit.

Schrödingergleichung für geladene Teilchen im elektromagnetischen Feld

Die folgenden elektrodynamischen Größen sind hier im CGS-Einheitensystem angegeben

Falls das Teilchen, wie im Falle eines Elektrons oder Protons, eine elektrische Ladung besitzt, so verallgemeinert sich bei Anwesenheit eines äußeren elektromagnetischen Feldes der Hamiltonoperator in der Orts-Darstellung zu

$\hat H = \frac{1}{2m} \left(-\mathrm{i}\hbar\nabla - \frac{q}{c} \mathbf{A}(\mathbf{r},t)\right)^2 + q \Phi(\mathbf{r},t) + V(\mathbf{r},t)$ ,

wobei hier q die elektrische Ladung des Teilchens (q = -e bei Elektronen), c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, $\mathbf{A}$ das sogenannte Vektorpotential und Φ das skalare Potential bezeichnen. Die sich so ergebende Schrödingergleichung tritt dabei an die Stelle der klassischen Gleichung mit Lorentzkraft. Die Potentiale sind durch folgende Beziehungen mit dem elektrischen Feld $\mathbf{E}$ bzw. dem magnetischen Feld $\mathbf{B}$ verbunden:

$\mathbf{E}(\mathbf{r},t) = -\nabla\Phi(\mathbf{r},t) - \frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}(\mathbf{r},t)$

$\mathbf{B}(\mathbf{r},t) = \nabla \times \mathbf{A}(\mathbf{r},t)$.

Meist wird die Bewegung geladener Teilchen in äußeren (vorgegebenen) elektromagnetische Feldern ($\mathbf{E}, \mathbf{B}$) betrachtet. Umgekehrt beeinflusst natürlich die Wellenfunktion ψ auch das äußere elektromagnetische Feld in folgender Weise. Aus ψ und q lässt sich wieder eine elektrische Stromdichte und die Ladungsdichte des Teilchens berechnen und diese Felder erzeugen wieder ein eigenes elektromagnetisches Feld, das auf alle äußeren Ladungen und Ströme, die das äußere Feld verursachen, zurückwirkt. Würde dies in der Schrödingergleichung berücksichtigt, wäre dies ein Beispiel für eine nichtlineare Schrödingergleichung, die außer im Fall kleiner Störungen sehr viel schwieriger zu handhaben ist. Ein Beispiel für eine in der Festkörperphysik verwendete nichtlineare Schrödingergleichung ist die Gross-Pitaevskii-Gleichung.

Schrödingergleichung in der Mathematik

Außerhalb der Physik genießt die Schrödingergleichung in der Mathematik ein hohes Maß an Interesse. Eine große Zahl von Mathematikern beschäftigt sich auch aktuell mit der Untersuchung von Existenz- und Eindeutigkeitsfragen, qualitativer Untersuchungen der Eigenschaften von speziellen Lösungen der Gleichungen (z. B. dem Untersuchen von Solitonen der nichtlinearen Schrödingergleichung) und der numerischen Lösung der Gleichungen.

Form der nichtlinearen Schrödingergleichung

Die Natur ist für einen Mathematiker nicht unbedingt von solcher Bedeutung wie für einen Physiker. Daher werden die Konstanten weggelassen, die Schreibweise wird teilweise abstrahiert. Die Schrödingergleichung als Cauchyproblem hat folgende Gestalt:

$\mathrm i\frac{\partial u}{\partial t} - \Delta u = f(u),\quad u|_{t = 0}=u_0,$.

mit einem nichtlinearen Selbstwechselwirkungsterm f(u). Dabei wurde die explizite Abhängigkeit der Lösungsfunktion u von Zeit und Ort weggelassen.

Passende Räume

Zur Behandlung der linearen Schrödingergleichung werden einheitlich dichte Teilräume der Sobolevräume

$H^s(\Omega) \;=\; \{ f:\Omega\rightarrow\R \,|\, D^\alpha f \in L^2\,\forall |\alpha|\leq s\}$ für ganzzahlige s und

$H^s(\Omega) \;=\; \{ f \in S'(\Omega) \,|\, F^{-1}((1+|\xi|^2)^{\frac{s}{2}}\hat{f})\in L^2\},$ für $s \in \R$,

wobei $\Omega\subseteq\R^n$, S' der Raum der temperierten Distributionen, $\hat{f}$ die Fourier-Transformation sowie F ^{− 1} die Rücktransformation bezeichnet, gewählt.

Die Wahl des passenden Teilraumes hängt dabei von dem gegebenen Problem ab. Dass nicht der ganze Raum verwendet wird, ist ein wesentlicher Unterschied zur physikalischen Betrachtung. Er begründet sich darin, dass die Begriffe „hermitesch“ und „selbstadjungiert“ im unendlichdimensionalen nicht mehr zusammenfallen: Ob ein Operator selbstadjungiert ist, hängt hier wesentlich von der Wahl seines Definitionsbereiches ab. Dass die betrachteten Operatoren selbstadjungiert sind ist für die Quantenmechanik wichtig, da der Spektralsatz, der die Diagonalisierbarkeit eines Operators garantiert, nur für selbstadjungierte Operatoren gilt und nicht allgemein für hermitesche.^[3]

Eigenschaften von Lösungen

Erhaltung der H^s-Normen

$\| u(\cdot,t) \| _{H^s} \;=\; \| u_0 \| _{H^s}$

Einfach zu sehen durch Fourier-Transformation der Semigruppe.

Dies drückt die Erhaltung der Wahrscheinlichkeiten aus.

Dispersion

Es gilt

$\|u(\cdot,t)\|_{L^\infty} \,\leq\, \frac{c}{|t|^{n/2}}\, \|u_0\|_{L^1}\quad\forall u_0\in L^1$.

Diese Eigenschaft drückt das Zerfließen der Wellenpakete aus. Mathematisch ist die Schrödingergleichung mit der Wärmeleitungsgleichung verwandt.

Ausblick

Die Wechselwirkung des Spins oder Eigendrehimpulses des Teilchens mit einem äußeren Magnetfeld wird in obiger Form der Schrödingergleichung nicht berücksichtigt. Falls diese Wechselwirkung nicht vernachlässigt werden soll, ist für ein Elektron bei Anwesenheit eines äußeren Magnetfeldes die Pauli-Gleichung zu benutzen.

Leider hat jedoch auch die Pauli-Gleichung noch einige grundlegende Mängel. Sie ist beispielsweise nicht lorentzinvariant, sondern „nur“ galilei-invariant (nicht relativistisch). Die korrekte relativistische Verallgemeinerung der Schrödinger- und auch der allgemeineren Pauli-Gleichung stellt für Elektronen die lorentzinvariante Diracgleichung dar, die im Gegensatz zur Schrödingergleichung eine partielle Differentialgleichung 1. Ordnung ist.

Literatur

Schrödingers Originalarbeiten

• Erwin Schrödinger: Quantisierung als Eigenwertproblem. In: Annalen der Physik. Band 79, 1926, S. 361, 489, 734, und Band 81, 1926, S. 109 (Originalarbeiten)
• Erwin Schrödinger: Die Wellenmechanik. Battenberg, cop., Stuttgart 1963 (Dokumente der Naturwissenschaft. Abteilung Physik ; Band 3) (Schrödingers Arbeiten zur Wellenmechanik) - Die Arbeiten zur Wellenmechanik sind auch nachgedruckt in Ludwig (Hrsg) Wellenmechanik, WTB.
• Erwin Schrödinger: Der Grundgedanke der Wellenmechanik. In: Was ist ein Naturgesetz? Beiträge zum naturwissenschaftlichen Weltbild. 5. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 1967, ISBN 3-486-56293-2, S. 86–101 (Eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche).

Lehrbücher der Quantenmechanik Die Schrödingergleichung wird in fast allen Lehrbüchern der Quantenmechanik behandelt, zum Beispiel:

• Torsten Fließbach: Quantenmechanik, Spektrum Akademischer Verlag und andere Lehrbücher der Quantenmechanik
• Peter W. Atkins: Molecular Quantum Mechanics und andere Lehrbücher der theoretischen und physikalischen Chemie
• M. Alonso/E.L. Finn: Quantenphysik und Statistische Physik, Oldenbourg

Mathematik:

• Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics, 4 Bände, Academic Press 1978, 1980
• Hans Cycon, Richard G. Froese, Werner Kirsch, Barry Simon: Schrödinger Operators, Springer 1987
• Volker Bach: Schrödinger Operators, in Francoise, Naber, Tsun (Hrsg.), Encyclopedia of Mathematical Physics, Bd.4, Academic Press 2006
• Gerald Teschl: Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators, American Mathematical Society, 2009 (Freie Online-Version)

Anmerkungen

1. ↑ In seinem Nobel-Vortrag (1933) beschreibt Schrödinger auf anschauliche Weise (ohne Mathematik) die Wirkungsweise des Hamiltonschen Prinzips in der klassischen Mechanik und der Quanten- bzw. Wellenmechanik.
2. ↑ R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. L. Sands, Vorlesungen über Physik, Bd. 3 Quantenmechanik, Oldenbourg-Verlag
3. ↑ Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6. , Kapitel 7 (für den Spektralsatz / Selbstadjungiertheit)

Weblinks

• Quantisierung als Eigenwertproblem. (Erste Mitteilung.) - (pdf). Ann. Phys., 79, p. 361-376, (1926) - Die erste Veröffentlichung zur Wellenmechanik und erste Darstellung der Schrödingergleichung (731 kB)
• Weitere Arbeiten zum Thema Schrödingergleichung von Erwin Schrödinger
• Einfache Erklärung der Schrödingergleichung (in 8 Teilen)