Inverse Distanzgewichtung

Die Inverse Distanzwichtung ist ein nichtstatistisches Interpolationsverfahren der Geostatistik und wird zur einfachen Interpolation der räumlichen Abhängigkeit georeferenzierter Daten genutzt. Dabei gilt als Grundannahme, dass die Ähnlichkeit eines unbekannten Wertes zum bekannten Messwert mit der Entfernung von diesem abnimmt, die Daten also umso unähnlicher sind, je weiter sie auseinander liegen. Dieser Zusammenhang wird bei der inversen Distanzwichtung dadurch zum Ausdruck gebracht, dass der Messwert mit einem Gewicht multipliziert wird, das proportional zum Inversen des Abstands zwischen Schätzpunkt und Messort ist.

Verfahren

Es wird zunächst von einer endlichen Zahl n von Messungen mit den Messorten x_i und den Messwerten z(x_i) ausgegangen, wobei der Index i für die natürlichen Zahlen von 1 bis n steht. Der gesuchte Wert am Punkt x₀ wurde nicht gemessen und muss daher geschätzt werden. Der Schätzer z*(x₀) berechnet sich dann allgemein nach:

$z^*(x_0) = \sum_{i=1}^n \lambda_i(x_0) \cdot z(x_i) = \lambda_1(x_0) \cdot z(x_1) + \lambda_2(x_0) \cdot z(x_2) + ... + \lambda_n(x_0) \cdot z(x_n)$

$\lambda_i(x_0) = \frac{1}{d(x_0, x_i)}$

Als Forderung gilt dabei z*(x_i) = z(x_i), die Schätzfunktion soll also an den Messpunkten selbst identisch mit den gemessenen Werten sein. Der Ausdruck λ wird als Gewicht oder Gewichtsfunktion bezeichnet. Nach obiger Gleichung würde das Gewicht bei den Messwerten eine Division durch Null ergeben, weshalb man die Funktion normiert:

$\lambda_i^*(x_0) = \frac{\lambda_i(x_0)}{\sum_{l=1}^n \lambda_l(x_0)}$

Zusätzlich wird auch eine Potenz x verwendet, um der tatsächlichen Abnahme der Ähnlichkeit besser Rechnung tragen zu können. Diese Potenz muss dabei festgelegt werden und sollte die Datenlage möglichst gut annähern, im Regelfall wird jedoch einfach eine Potenz von 2 veranschlagt. Zusammengenommen ergibt sich damit die folgende Gleichung:

$z^*(x_0) = \frac{\sum_{i=1}^n \frac{z(x_i)}{d^x(x_0, x_i)}}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{d^x(x_0, x_i)}}$

Bedeutung

Die Inverse Distanzwichtung berücksichtigt nicht die in den Daten vorliegende Zunahme der Unähnlichkeit mit der Entfernung sondern hat diese als Voraussetzung in Form eines frei wählbaren Exponenten innerhalb der Gewichtungsfunktion. Auch durch die Wahl der in die Wichtung eingehenden Messwerte kann Einfluss genommen werden, wobei hier die Reichweite der Daten zu beachten ist. Da das Verfahren nur den Abstand der Messdaten einfließen lässt, berücksichtigt es nicht alle im Datensatz enthaltenen und geostatistisch prinzipiell nutzbaren Informationen, weshalb der Schätzer auch nicht den geringstmöglichen Schätzfehler besitzt und je nach Eigenschaften des Datensatzes sowie der Wahl der Schätzfunktion mehr oder weniger darüber liegt. Dies gilt insbesondere dann, wenn die Messorte clusterhaft verteilt sind, sich also an bestimmten Stellen konzentrieren und an anderen ausdünnen. Demgegenüber steht die Einfachheit des Verfahrens, weshalb es zum Beispiel im Vorausgang des Kriging-Verfahrens oder bei geringeren Ansprüchen an die Güte der Interpolation genutzt wird .