Isolierter Punkt

In der Topologie ist ein Element a einer Menge X ein isolierter Punkt, wenn es eine Umgebung von a gibt, in der (außer a) keine weiteren Elemente von X liegen. Ein Punkt $a \in X$ ist also genau dann isoliert, wenn a kein Häufungspunkt von X ist.

Ist jeder Punkt eines topologischen Raumes isoliert, nennt man den Raum diskret.

Beispiele

Die folgenden Beispiele benutzen Teilmengen der reellen Zahlen mit der üblichen Topologie.

• In der Menge $\{0\}\cup [1, 2]$ ist 0 ein isolierter Punkt.
• In der Menge $\{0\}\cup \{1, \tfrac 12, \tfrac 13, \dots\}$ ist jedes der Elemente $\tfrac 1n$ ein isolierter Punkt, aber 0 ist kein isolierter Punkt.
• In der Menge der natürlichen Zahlen $\N=\{0, 1, 2, \dots\}$ sind alle Elemente isolierte Punkte. Es handelt sich also um einen diskreten Raum.