Diskrete Topologie

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie ist ein topologischer Raum diskret, wenn alle Punkte isoliert sind, d. h. wenn in einer hinreichend kleinen Umgebung des Punktes keine weiteren Punkte liegen.

Definition

Es sei X eine Menge. Dann ist die diskrete Topologie auf X die Topologie, in der alle Mengen offen sind. Ein Raum, der die diskrete Topologie trägt, heißt diskret.

Das heißt, X trägt gerade die Potenzmenge $\mathcal{P}(X)$ als Topologie.

Teilmengen Y topologischer Räume X heißen diskret, wenn sie mit der induzierten Topologie diskret sind. Das ist äquivalent dazu, dass es zu jedem Punkt $y\in Y$ eine Umgebung $U\subseteq X$ von y gibt, die y als einzigen Punkt von Y enthält, d.h. $U\cap Y=\{y\}$.

Kategorientheoretischer Hintergrund

Kategorientheoretisch wäre es konsistenter die diskrete Topologie als freie Topologie zu bezeichnen. Dazu betrachte man den Funktor $F\colon \mathbf{Sets} \to \mathbf{Top}$ von der Kategorie aller Mengen (mit allen Mengenabbildungen als Morphismen) in die Kategorie aller topologischen Räume (mit allen stetigen Abbildungen als Morphismen), welcher jeder Menge X den diskreten Topologischen Raum $(X,\mathcal{P}(X))$ zuweist und jeder Mengenabbildung dieselbe Abbildung zwischen den zugehörigen diskreten Räumen. Dieser Funktor ist nun linksadjungiert zum Vergissfunktor $U\colon \mathbf{Top} \to \mathbf{Sets}$. Üblicherweise werden die Bilder von Mengen unter solchen Funktoren jedoch als freie Konstruktionen bezeichnet, beispielsweise freie Gruppen, freie abelsche Gruppen, freie Moduln. In ähnlicher Weise ist die grobe Topologie (auch indiskrete Topologie) als Funktor rechtsadjungiert zum oben genannten Vergissfunktor. D.h. die grobe Topologie ist der duale Begriff zur diskreten Topologie.

Eigenschaften

• Stetige Abbildungen von einem topologischen Raum X in einen diskreten topologischen Raum Y sind lokal konstant.
• Jede Mengenabbildung von einem diskreten topologischen Raum X in einen beliebigen topologischen Raum Y ist stetig.
• Ein topologischer Raum ist genau dann diskret, wenn für jeden Punkt x die Menge {x} offen ist.
• Diskrete Räume sind stets hausdorffsch. Sie sind genau dann kompakt, wenn sie nur endlich viele Punkte enthalten.
• Das kartesische Produkt endlich vieler diskreter topologischer Räume ist wieder diskret.
• Die diskrete Topologie wird von der diskreten Metrik

$d(x,y)=\begin{cases}0 & \mathrm{f\ddot ur}\ x=y\\1 & \mathrm{f\ddot ur}\ x\ne y\end{cases}$

induziert. Bezüglich dieser Metrik ist der Raum vollständig. Es kann jedoch andere Metriken geben, die ebenfalls die diskrete Topologie induzieren, bezüglich derer der Raum aber nicht vollständig ist: Ein Beispiel ist der Raum $\{\tfrac{1}{n}\mid n=1,2,3,\ldots\}$ mit der durch den Betrag gegebenen Metrik.

• Diskrete Räume sind 0-dimensional, sowohl bzgl. der kleinen und großen induktiven Dimension als auch bzgl. der Lebesgue'schen Überdeckungsdimension.

Literatur

• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9 (Springer-Lehrbuch).