Isotomisch konjugierte Punkte

Isotomisch konjugierte Punkte werden in der Dreiecksgeometrie betrachtet. Sie sind folgendermaßen definiert:

Gegeben sei ein Dreieck ABC. Die Seitenmittelpunkte seien mit D, E und F bezeichnet. Weiter seien auf den Seiten [BC], [CA] bzw. [AB] drei Punkte X₁, Y₁ und Z₁ gegeben, wobei sich die Geraden AX₁, BY₁ und CZ₁ (in der Skizze blau) in einem Punkt P₁ schneiden. Bezeichnet man die Spiegelpunkte von X₁, Y₁ und Z₁ an den jeweiligen Seitenmittelpunkten (D, E bzw. F) mit X₂, Y₂ und Z₂, so ergibt sich aus dem Satz von Ceva, dass sich auch die Geraden AX₂, BY₂ und CZ₂ (rot gezeichnet) in einem Punkt P₂ schneiden. Man bezeichnet die Punkte P₁ und P₂ als zueinander isotomisch konjugiert.

Beispiele

• Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist zu sich selbst isotomisch konjugiert.
• Der Nagel-Punkt und der Gergonne-Punkt sind zueinander isotomisch konjugiert.

Eigenschaften

• Hat ein Punkt P₁ die trilinearen Koordinaten x:y:z, so hat der isotomisch konjugierte Punkt P₂ die trilinearen Koordinaten $\frac{1}{a^2 x} : \frac{1}{b^2 y} : \frac{1}{c^2 z}$. a, b und c stehen dabei für die Seitenlängen des gegebenen Dreiecks.

• Hat ein Punkt P₁ die baryzentrischen Koordinaten x.y:z, so hat der isotomisch konjugierte Punkt P₂ die baryzentrischen Koordinaten $\frac{1}{x} : \frac{1}{y} : \frac{1}{z}$ bzw. gleichwertig yz:zx:xy.

Siehe auch

Isogonal konjugierte Punkte

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Isotomic Conjugate. In: MathWorld. (englisch)