Satz von Ceva

Satz von Ceva

Der Satz von Ceva ist eine geometrische Aussage über Dreieckstransversalen, die der italienische Mathematiker Giovanni Ceva (1647 bis 1734) 1678 in seinem Werk De lineis rectis bewies.

In einem Dreieck ABC seien [AD], [BE] und [CF] drei Ecktransversalen (also Verbindungsstrecken zwischen einer Ecke und einem Punkt auf der gegenüber liegenden Seite beziehungsweise deren Verlängerung), die sich in einem Punkt O innerhalb oder außerhalb des Dreiecks schneiden. Dann gilt:

$TV(A,B,F) \cdot TV(B,C,D) \cdot TV(C,A,E) = 1$

Hierbei ist TV(U,V,W) das (orientierte, also eventuell negative) Teilverhältnis von U,V,W, was für drei auf einer Gerade liegenden Punkte U,V,W mit $W \neq V$ definiert wird durch $\overrightarrow{UW} = TV(U,V,W) \cdot \overrightarrow{WV}$. Wenn W zwischen U und V liegt, ist das genannte Teilverhältnis gleich $\overline{UW}/\overline{WV}$, andernfalls gleich $-\overline{UW}/\overline{WV}$.

Die oben angegebene Gleichung lässt sich mithilfe des Satzes von Menelaos beweisen.

Umgekehrt kann aus der Richtigkeit dieser Gleichung gefolgert werden, dass sich die Geraden AD, BE und CF in einem Punkt schneiden. Diese Umkehrung des Satzes von Ceva wird häufig in der Dreiecksgeometrie für Beweise aus dem Themenbereich "Ausgezeichnete Punkte im Dreieck" verwendet.

Wenn die Gleichung gilt, folgt daraus auch:

$\overline{AF} \cdot \overline{BD} \cdot \overline{CE} = \overline{AE} \cdot \overline{BF} \cdot \overline{CD}$

Da die Orientierung hierbei verloren geht, ist diese Gleichung nicht ausreichend für eine Umkehrung des Satzes, vgl. Satz von Menelaos.

Eine Verallgemeinerung des Satzes von Ceva ist der Satz von Routh.

Weblinks

 Commons: Ceva's theorem – Album mit Bildern und/oder Videos und Audiodateien

• Satz von Ceva ein animierter, geometrischer Beweis des Satzes von Ceva