Symmetrie (Geometrie)

Symmetrie in der Architektur

... und in der Biologie.

Leonardo da Vincis "Der vitruvianische Mensch"

Mit dem geometrischen Begriff Symmetrie (griechisch σύν syn: "zusammen" und μέτρον metron: "Maß") bezeichnet man die Eigenschaft, dass ein geometrisches Objekt durch bestimmte Umwandlungen auf sich selbst abgebildet werden kann, also unverändert erscheint. Eine Umwandlung, die ein Objekt auf sich selbst abbildet, heißt Symmetrieoperation. Zwei verschiedene geometrische Objekte können zueinander symmetrisch sein, nämlich dann, wenn eine Symmetrieoperation existiert, die das eine Objekt in das andere überführt.

Abhängig von der Zahl der betrachteten Dimensionen gibt es folgende unterschiedliche Symmetrien:

Symmetrien im Eindimensionalen

Im Eindimensionalen, also auf einer Geraden, gibt es die Symmetrie bezüglich eines einzelnen Punktes sowie die Symmetrie bezüglich Translation (Verschiebung).

Symmetrien im Zweidimensionalen

Im Zweidimensionalen muss zwischen Punkt- und Achsensymmetrie unterschieden werden. Daneben treten auch hier Translationssymmetrien auf.

Rotationssymmetrie

Zweidimensionale Objekte sind rotationssymmetrisch, wenn eine Drehung um jeden beliebigen Winkel um einen Punkt das Objekt auf sich selbst abbildet. Diese Symmetrie wird auch als Kreissymmetrie bezeichnet.

Achsensymmetrie

→ Hauptartikel: Achsensymmetrie

Achsensymmetrische Objekte in der Ebene

Die Achsensymmetrie, axiale Symmetrie oder Spiegelsymmetrie^[1] ist eine Form der Symmetrie, die bei Dingen auftritt, die entlang einer Symmetrieachse gespiegelt sind. Für jede Achsenspiegelung gilt: (1)Figur und Bildfigur sind Deckungsgleich zueinander. (2)Strecke und Bildstrecke sind gleich lang. (3)Winkel und Bildwinkel sind gleich groß. (4)Figur und Bildfigur haben verschiedenen Umlaufsinn.

Beispiele

Dreiecke können eine oder drei Symmetrieachsen haben: Ein gleichschenkliges Dreieck ist achsensymmetrisch bezüglich der Mittelsenkrechten zur Basis. Gleichseitige Dreiecke haben drei Symmetrieachsen.
Vierecke können eine, zwei oder sogar vier Symmetrieachsen besitzen:
- Mindestens eine Symmetrieachse haben gleichschenklige Trapeze (durch die Mittelpunkte der parallelen Seiten) und Drachenvierecke (entlang einer Diagonale).
- Mindestens zwei Symmetrieachsen liegen vor beim Rechteck (die Mittelsenkrechten von gegenüber liegenden Seiten) und bei der Raute (beide Diagonalen).
- Das Quadrat schließlich ist Rechteck und Raute zugleich und weist somit vier Symmetrieachsen auf.
Kreise weisen sogar unendlich viele Symmetrieachsen auf, da sie bezüglich jedes Durchmessers symmetrisch sind.
Eine weitere Figur mit unendlich vielen Symmetrieachsen ist die Gerade. Da sie unendlich lang ist, ist sie symmetrisch bezüglich jeder zu ihr senkrechten Achse sowie der auf ihr selbst liegenden Achse.

Achsensymmetrie von Funktionsgraphen

Achsensymmetrischer Funktionsgraph

Eine vor allem in der Schulmathematik beliebte Aufgabenstellung besteht darin, für den Graphen einer Funktion die Achsensymmetrie nachzuweisen. Dieser Nachweis ist besonders einfach im Falle der Symmetrie bezüglich der y-Achse des (kartesischen) Koordinatensystems. Eine Funktion ist achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse, wenn gilt:

$f(-x) \, = \, f(x)$

Ist sie für alle x gültig, liegt Achsensymmetrie vor, das heißt f ist eine gerade Funktion.

Diese Bedingung läuft darauf hinaus, dass die Funktionswerte für die entgegengesetzt gleichen Argumente $x$ und $- x$ übereinstimmen müssen.

Allgemeiner gilt: Der Graph einer Funktion f ist genau dann achsensymmetrisch bezüglich der Geraden mit der Gleichung $x = a$ , wenn die folgende Bedingung für beliebige Werte von x richtig ist:

$f(a-x) \, = \, f(a+x)$

Durch Substitution von $x$ mit $x - a$ erhält man die äquivalente Bedingung:

$f(2a-x) \, = \, f(x)$

Punktsymmetrie

Punktsymmetrische Objekte in der Ebene

Die Punktsymmetrie, auch Zentralsymmetrie^[1], ist eine Eigenschaft geometrischer Objekte. Ein geometrisches Objekt (z. B. ein Viereck) heißt (in sich) punktsymmetrisch, wenn es eine Punktspiegelung gibt, die dieses Objekt auf sich abbildet. Der Punkt, an dem diese Spiegelung erfolgt, wird als Symmetriezentrum bezeichnet. Obwohl eine solche Punktspiegelung einer Drehung um 180° entspricht, ist die Punktsymmetrie von der Drehsymmetrie zu unterscheiden. Sie bildet lediglich den Spezialfall einer Drehsymmetrie. Die folgende Abbildung zeigt einige punktsymmetrische Figuren.

Zwei verschiedene Objekte können zueinander punktsymmetrisch sein, nämlich dann, wenn eine Punktspiegelung existiert, die das eine Objekt in das andere überführt.

Verschiedenes:

Ein Dreieck kann nicht in sich punktsymmetrisch sein, wohl aber zwei Dreiecke zueinander.
Bei einem Viereck liegt Punktsymmetrie (in sich) genau dann vor, wenn es sich um ein Parallelogramm handelt. Das Symmetriezentrum ist in diesem Fall der Schnittpunkt seiner Diagonalen. Als Sonderfälle des Parallelogramms sind auch Rechteck, Raute und Quadrat punktsymmetrisch.
Jeder Kreis ist (in sich) punktsymmetrisch bezüglich seines Mittelpunkts.
Zwei Kreise mit gleichem Radius sind zueinander punktsymmetrisch. Das Symmetriezentrum ist der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke zwischen den beiden Kreismittelpunkten.
Mehrere Symmetriezentren kann es nur geben, wenn die Figur nicht beschränkt ist. Das einfachste Beispiel ist die Gerade. Sie hat sogar unendlich viele Symmetriezentren.

Punktsymmetrie von Funktionsgraphen

Punktsymmetrischer Funktionsgraph

Eine vor allem in der Schulmathematik häufige Aufgabenstellung besteht darin nachzuweisen, dass der Graph einer gegebenen Funktion punktsymmetrisch ist. Dieser Nachweis kann mit der folgenden Formel geführt werden:

$\!f(a+x) - b= - f(a-x) + b$

Ist diese Gleichung für alle x erfüllt, liegt Punktsymmetrie zum Punkt (a,b) vor. Die genannte Bedingung ist durch Substitution von $x$ mit $x - a$ gleichwertig zu

$\!f(x) = 2b - f(2a-x)$

Im Spezialfall von Punktsymmetrie um dem Ursprung (0,0) vereinfacht sich diese Gleichung zu:

$\!f(-x) = -f(x)$

Ist sie für alle x gültig, liegt Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung vor, das heißt $f$ ist eine ungerade Funktion.

Beispiel mit Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung

Kurve von f(x) = 2x⁵

Gegeben sei die Funktion $f (x) = 2 x 5 .$ Berechne:

$\!f(-x) = 2 (-x)^5$

$\! = 2 (-1)^5 x^5$

$\! = 2 (-1) x^5$

$\! = -2 x^5 = - f(x)$

Also ist der Funktionsgraph punktsymmetrisch zum Ursprung (0,0).

Beispiel mit Punktsymmetrie zum Punkt (0,2)

Kurve von f(x) = 2x⁵ + 2

Gegeben sei die Funktion $f (x) = 2 x 5 + 2$

$\!(a,b) = (0,2)$

also ist $a = 0$ und $b = 2$
Berechne:

$\!2b - f(2a-x) = 4 - f(-x) = 4 - ( 2(-x)^5 + 2)$

$\! = 4 - (-2x^5 + 2)$

$\! = 4 + 2x^5 - 2$

$\! = 2x^5 + 2 = f(x)$

Folglich ist der Funktionsgraph punktsymmetrisch zum Punkt (0,2),

und es gilt: $- f (x) + 2 = f ( - x) - 2$ .

Translationssymmetrie

Figuren, die durch eine Verschiebung oder Translation (die nicht die Identität ist) in sich selbst überführt werden, haben eine Translationssymmetrie. Sie werden auch als periodisch bezeichnet.

Figuren, die translationssymmetrisch sind, müssen zwangsläufig unbeschränkt sein. In Anwendungen der Mathematik ist dies praktisch nie gegeben, daher bezeichnet man dort auch beschränkte Teilmengen von periodischen Mengen (Kristallgitter u. Ä.) als periodisch.
Die Schaubilder periodischer reeller Funktionen wie der Sinus-Funktion weisen eine Translationssymmetrie in einer Richtung auf.

Symmetrien im Dreidimensionalen

Ein Beispiel für höchste Symmetrie in der Natur: Blütenstand des Romanesco mit fraktalen Strukturen und Fibonacci-Spiralen.

In der Natur

Der Aufbau der meisten höheren Lebewesen ist mehr oder weniger annähernd spiegelsymmetrisch (bei niederen Lebensformen findet sich oft Achsensymmetrie, diese bilden somit einen angenäherten Rotationskörper). Auch der Mensch verfügt über eine vertikale Symmetrieebene. Diese Symmetrie ist dabei jedoch nicht vollständig, so ist der Aufbau der inneren Organe nicht spiegelsymmetrisch. Auch die scheinbar zueinander symmetrischen Körperteile wie Augen, Ohren, Arme, Beine, Brüste etc. weisen untereinander immer mehr oder weniger große Lage-, Form- und Größenunterschiede auf.

Entsprechungen zu zweidimensionalen Symmetrieelementen

Der Achsensymmetrie im Zweidimensionalen entspricht die Flächensymmetrie im Dreidimensionalen, der Punktsymmetrie die Achsensymmetrie (Drehsymmetrie um 180°). Daneben gibt es noch die Punkt-/ Zentralsymmetrie im Raum und wie in der Ebene Translationssymmetrien.