Jacobi-Varietät

Die Jacobi-Varietät ist ein komplexer g-dimensionaler Torus und wird in der Funktionentheorie betrachtet. Der Name geht auf den Mathematiker Carl Gustav Jacob Jacobi zurück, der die Theorie der elliptischen Funktionen entwickelte, in welcher diese Varietät eine wichtige Rolle spielt. Dieses Objekt findet insbesondere Anwendung im Satz von Abel und im jacobischen Umkehrproblem.

Definition

Periodengitter

Sei X eine kompakte riemannsche Fläche mit Geschlecht $g\geq 1$ und sei π₁(X) die Fundamentalgruppe von X. Es sei $\omega_1 , \ldots \omega_g \in \Omega(X)$ eine Basis der holomorphen Differentialformen. Dann heißt

$\text{Per}(\omega_1, \ldots , \omega_g) := \left\{ \left( \int_\alpha \omega_1 , \ldots , \int_\alpha \omega_g \right) \in \mathbb{C}^g\ |\ [\alpha] \in \pi_1(X) \right\}$

das Periodengitter von X.

Aufgrund der Linearität des Integrals erhält man sofort eine additive Gruppenstruktur auf Per(X). Das Periodengitter ist ein echtes Gitter. Dies erscheint naheliegend, ist aber nicht einfach zu beweisen.

Jacobi-Varietät

Es sei wie in der obigen Definition X eine kompakte riemannsche Fläche mit Geschlecht g und $\omega_1 , \ldots , \omega_g$ eine Basis von Ω(X). Dann heißt

$\text{Jac(X)} := \mathbb{C}^g / \text{Per}(\omega_1 , \ldots , \omega_g)$

Jacobi-Varietät von X.

Eigenschaften

• Da sowohl Per(X) als auch $\mathbb{C}^g$ eine additive Gruppenstruktur besitzen, kann man Jac(X) als Quotient zweier Gruppen auffassen. Es handelt sich algebraisch also um eine Faktorgruppe.
• Da Per(X) aber ebenfalls ein Gitter ist, kann man Jac(X) als einen g-dimensionalen Torus auffassen, auf welchem man eine Struktur einer komplexen Mannigfaltigkeit definieren kann.
• Zusammengenommen ist die Jacobi-Varietät eine Lie-Gruppe.

Literatur

Otto Forster: Riemannsche Flächen. Springer-Verlag, Berlin, 1977.