Johnson-Algorithmus

Der Johnson-Algorithmus ist ein Optimierungsverfahren für Warteschlangen, das 1954 von S. M. Johnson vorgestellt wurde. Es findet unter anderem bei der Reihenfolgeplanung zur Bestimmung der minimalen Zykluszeit in der Produktionswirtschaft Anwendung.

Der Johnson-Algorithmus liefert eine hinsichtlich der Zykluszeit optimale Reihenfolge von unbestimmt vielen Aufträgen, die jeweils auf genau zwei Maschinen nacheinander bearbeitet werden sollen.

Der Algorithmus

Optimale Maschinenbelegung

Es existiert ein Stapel mit unbestimmt vielen Aufträgen A_n, die in einer optimalen Reihenfolge bezüglich der Zykluszeit auf genau zwei Maschinen / Prozessoren M_j nacheinander bearbeitet werden sollen.

Beispiel: Fünf Aufträge mit unterschiedlichen Bearbeitungszeiten auf den Maschinen M₁ und M₂ sollen Zykluszeit-optimal bearbeitet werden. Die folgende Tabelle gibt an, wie viel Zeit (in ZE) ein Auftrag A_i auf einer Maschine M_j benötigt.

	A1	A2	A3	A4	A5
M1	14	12	7	13	11
M2	4	13	8	9	14

Alternative 1

Das Problem kann mit folgender iterativer Vorschrift gelöst werden:

1. Suche den Auftrag A_i mit der absolut kürzesten Bearbeitungszeit
2. Entscheide:
   • Falls j=1: Ordne den Auftrag A_i so weit vorn wie möglich in der Reihenfolge an
   • Falls j=2: Ordne den Auftrag A_i so weit hinten wie möglich in der Reihenfolge an
3. fahre fort bei 1. solange bis jeder Auftrag zugeordnet ist.

Der Johnson-Algorithmus sucht sich jetzt den kürzesten Auftrag, also A₁ mit 4 ZE. Da A₁ auf M₂ (j=2) am wenigsten Zeit benötigt, wird er in der neuen Reihenfolge so weit wie möglich hinten eingeordnet.

Der nächst-kürzeste Auftrag ist A₃ mit 7 ZE. Da A₃ auf M₁ am wenigsten Zeit benötigt, wird er in der neuen Reihenfolge so weit vorn wie möglich eingeordnet, usw.

Beispiel zur iterativen Implementation

Beispiel:

Startzustand:

x	A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A8
M1	12	7	4	3	10	5	6	7
M2	8	6	9	6	2	8	9	7

Zustand1:

x	A1	A2	A3	A4	A6	A7	A8	A5
M1	12	7	4	3	5	6	7	10
M2	8	6	9	6	8	9	7	2

Zustand2:

x	A4	A1	A2	A3	A6	A7	A8	A5
M1	3	12	7	4	5	6	7	10
M2	6	8	6	9	8	9	7	2

Zustand3:

x	A4	A3	A1	A2	A6	A7	A8	A5
M1	3	4	12	7	5	6	7	10
M2	6	9	8	6	8	9	7	2

Zustand4:

x	A4	A3	A6	A1	A2	A7	A8	A5
M1	3	4	5	12	7	6	7	10
M2	6	9	8	8	6	9	7	2

Zustand5:

x	A4	A3	A6	A7	A1	A2	A8	A5
M1	3	4	5	6	12	7	7	10
M2	6	9	8	9	8	6	7	2

Zustand6 (Endzustand a):

x	A4	A3	A6	A7	A1	A8	A2	A5
M1	3	4	5	6	12	7	7	10
M2	6	9	8	9	8	7	6	2

Anmerkung: Hier wäre der Algorithmus theoretisch schon zu Ende, bei einer Implementierung kann jedoch noch ein weiterer Zustand aufgrund verschiedener Elementsgrößenüberprüfung angezeigt werden.

Zustand7 (Endzustand b):

x	A4	A3	A6	A7	A8	A1	A2	A5
M1	3	4	5	6	7	12	7	10
M2	6	9	8	9	7	8	6	2

Es gibt bei diesem Beispiel somit 2 richtige Ergebnisse.

Alternative 2

1. Bilde eine Gruppe von Aufträgen mit Bearbeitungszeit, die auf der ersten Maschine kürzer sind, als auf der zweiten.
   • Sortiere diese Gruppe aufsteigend nach der Bearbeitungszeit auf Maschine 1.
2. Bilde eine zweite Gruppe mit restlichen Aufträgen.
   • Sortiere sie absteigend nach der Bearbeitungszeit auf Maschine 2.

Die Aufträge A₂ (M₁=12), A₃ (M₁=7), A₅ (M₁=11) bilden die erste Gruppe. Die Sortierung nach der kürzesten Bearbeitungsdauer auf der Maschine M₁ ergibt den ersten Teil der Lösung: A₃ → A₅ → A₂.

Die zweite Gruppe enthält die Aufträge A₁ (M₂=4), A₄ (M₂=9). Die Sortierung nach der längsten Bearbeitungsdauer auf der Maschine M₂ ergibt den zweiten Teil der Lösung: A₄ → A₁.

Die durchlaufzeitoptimale Reihenfolge für dieses Beispiel ist demnach: A₃ → A₅ → A₂ → A₄ → A₁. Die Abbildung „Optimale Maschinenbelegung“ stellt die optimale Lösung grafisch dar.

Literatur

• S. M. Johnson. Optimal two- and three-stage production schedules with setup times included. In: Naval Research Logistics Quarterly, vol.1, iss.1, 1954

Weblinks

• ielm.ust.hk