Komplementäre Matrix

Die Adjunkte, klassische Adjungierte oder komplementäre Matrix einer Matrix ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet Lineare Algebra. Man bezeichnet damit die transponierte Matrix der Cofaktoren, also der vorzeichenbehafteten Minoren.

$\operatorname{adj}(A) = \tilde A^T = \begin{pmatrix} \tilde a_{11} & \tilde a_{21} & \cdots & \tilde a_{n1}\\ \tilde a_{12} & \tilde a_{22} & & \tilde a_{n2}\\ \vdots & & \ddots & \vdots\\ \tilde a_{1n} & \tilde a_{2n} & \cdots & \tilde a_{nn}\end{pmatrix}$

Es ist hierbei zu beachten, dass dem Indexpaar (i,j) der Cofaktor $\tilde a_{ji}$ zugeordnet wird. Die Cofaktoren $\tilde a_{ji}$ berechnen sich zu

$\tilde a_{ji} = (-1)^{j+i}\cdot M_{ji} = (-1)^{j+i}\cdot \begin{vmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,i-1} & a_{1,i+1} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{j-1,1} & \cdots & a_{j-1,i-1} & a_{j-1,i+1} & \cdots & a_{j-1,n} \\ a_{j+1,1} & \cdots & a_{j+1,i-1} & a_{j+1,i+1} & \cdots & a_{j+1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,i-1} & a_{n,i+1} & \cdots & a_{n,n}\end{vmatrix}$.

Die Minoren M_ji sind die Werte der Unterdeterminanten der Matrix A, die durch Streichen der j-ten Zeile und der i-ten Spalte entstehen.

Da die Adjunkte in heutigen Lehrbüchern selten auftaucht und in älteren Werken die Notation alles andere als eindeutig war, ist Vorsicht geboten. Oft wird dieselbe Notation für die Adjunkte und die Adjungierte (also bei reellen Matrizen deren Transponierte, bei komplexen Matrizen deren konjugiert-transponierte, bei allgemeineren Räumen mit Hilfe des zu Grunde liegenden Skalarproduktes oder Sesquilinearproduktes) verwendet.

Beispiel

Eine beliebige $3 \times 3$-Matrix hat die Form

$A = \begin{pmatrix}a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i\end{pmatrix}$

Die Adjunkte zu dieser Matrix ist

$\begin{matrix} \operatorname{adj} (A) & = & \begin{pmatrix} \operatorname{det}\begin{pmatrix}e & f\\ h & i\end{pmatrix} & - \operatorname{det}\begin{pmatrix}d & f\\ g & i\end{pmatrix} & \operatorname{det}\begin{pmatrix}d & e\\ g & h\end{pmatrix} \\ - \operatorname{det}\begin{pmatrix}b & c\\ h & i\end{pmatrix} & \operatorname{det}\begin{pmatrix}a & c\\ g & i\end{pmatrix} & - \operatorname{det}\begin{pmatrix}a & b\\ g & h\end{pmatrix} \\ \operatorname{det}\begin{pmatrix}b & c\\ e & f\end{pmatrix} & - \operatorname{det}\begin{pmatrix}a & c\\ d & f\end{pmatrix} & \operatorname{det}\begin{pmatrix}a & b\\ d & e\end{pmatrix} \end{pmatrix}^T\\ & = & \begin{pmatrix} ei - hf & fg - di & dh - eg \\ ch - bi & ai - cg & bg - ah \\ bf - ce & cd - af & ae - bd \end{pmatrix}^T\\ & = & \begin{pmatrix} ei - hf & ch - bi & bf - ce \\ fg - di & ai - cg & cd - af \\ dh - eg & bg - ah & ae - bd \end{pmatrix} \end{matrix}$

Eigenschaften

$\operatorname{adj}(E) = E$, wobei E eine Einheitsmatrix ist.

$\operatorname{adj}(0) = 0$, wobei 0 eine Nullmatrix ist.

$\operatorname{adj}(AB) = \operatorname{adj}(B) \cdot \operatorname{adj}(A)$

$\operatorname{adj}(A^T) = \operatorname{adj}(A)^T$

$A \cdot \operatorname{adj}(A) = \operatorname{adj}(A) \cdot A = \det(A) \cdot E$

Berechnung der Inversen einer Matrix

Hauptartikel: Reguläre Matrix

Die einzelnen Spalten der Inversen einer Matrix A werden jeweils von der Lösung des Gleichungssystems Ax = e_j mit dem j-ten Einheitsvektor auf der rechten Seite gebildet. Berechnet man diese mit der Cramer’schen Regel, so erhält man die Formel

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \,\operatorname{adj} (A)$