Konstante (Logik)

Allgemein ist eine Konstante (von lat. constans – feststehend) ein Zeichen beziehungsweise ein Sprachausdruck mit einer „genau bestimmte[n] Bedeutung, die im Laufe der Überlegungen unverändert bleibt“^[1]. Die Konstante ist damit ein Gegenbegriff zur Variablen.

Logische Konstanten

Logische Konstanten oder logische Partikeln sind Zeichen beziehungsweise Ausdrücke, die die logische Struktur von Aussagen bestimmen. So haben die beiden Aussagen „Es ist nicht der Fall, dass es regnet“ und „Es ist nicht der Fall, dass die Erde ein Würfel ist“ dieselbe syntaktische und semantische Struktur – es handelt sich um Verneinungen. Der Sprachausdruck „Es ist nicht der Fall, dass...“ ist in diesen beiden strukturgleichen Aussagen die logische Konstante.

Als logische Konstanten unumstritten sind Ausdrücke für die Verneinung (zum Beispiel die Formulierung „Es ist nicht der Fall, dass...“), die logische Konjunktion („...und...“), die logische Disjunktion („...oder...“), das logische Konditional und andere Aussageverknüpfungen sowie Ausdrücke für die Quantoren („alle“, „jede/r“,...) der Prädikatenlogik erster Stufe. Während ebenso unumstritten ist, dass Ausdrücke wie „Erde“ oder „es regnet“ keine Konstanten sind, gibt es zwischen diesen Extremen einen überaus weiten Bereich, der Gegenstand von Untersuchungen ist und Raum für zahlreiche unterschiedliche Meinungen bietet. Umstritten ist zum Beispiel der Status von Ausdrücken wie „wahr“ oder „...ist Element von...“ und von Quantoren höherer Stufe („es gibt ein Prädikat, für das gilt...“).^[2]

Weniger problematisch ist die Unterscheidung zwischen logischen Konstanten und logischen Variablen innerhalb künstlicher Sprachen, wenn diese interpretiert sind, das heißt wenn für sie formale Semantiken angegeben werden. Eine häufig genutzte Definition wurde 1976 von Christopher Peacocke vorgeschlagen:^[3]

„a ist eine logische Konstante, wenn es nicht zusammengesetzt ist und wenn für jede Argumentfolge, auf die a angewendet wird, das Wissen über die Erfüllungsbedingungen der einzelnen Elemente dieser Argumentfolge (sowie das Wissen über die Erfüllungsbedingungen der formalen Zusammensetzung von Ausdrücken der syntaktischen Kategorie der Argumentfolgen mittels a) ausreicht, um a priori wissen zu können, welche Folgen den mittels a gebildeten Gesamtausdruck der entsprechenden syntaktischen Kategorie erfüllen oder welche Extension jede gegebene Folge diesem Ausdruck zuordnet, ohne daß man die Eigenschaften und Beziehungen der entsprechenden Elemente der eingehenden einzelnen Folgen selbst kennt.“

– Partikeln, logische, in: Historisches Wörterbuch der Philosophie, Band 7, Seite 152

In diesem Sinne sind die logischen Konstanten der Aussagenlogik die Junktoren; jene der Prädikatenlogik der ersten Stufe die Quantoren erster Stufe sowie die Junktoren; jene der Modallogik die Modalausdrücke wie „es ist notwendig, dass...“ und „es ist möglich, dass...“.

Nicht-logische Konstanten

In der Prädikatenlogik betrachtet man neben den oben genannten logischen Konstanten noch weitere nicht-logische Symbole, die zur Formulierung mathematischer Sachverhalte erforderlich sind, und kommt so zu einer um diese Symbole ergänzte Sprache. Als nicht-logische Symbole kommen hier Konstantensymbole, Funktionensymbole und Relationensymbole in Frage^[4]. Die Konstantensymbole zeichnen sich gegenüber den anderen nicht-logischen Symbolen dadurch aus, dass sie beim Termaufbau an dieselben Stellen wie die Variablen treten können.

Ein typisches Beispiel ist die Symbolmenge $\{0,1,+,\cdot\}$, die zur Formulierung der Ringtheorie verwendet werden kann. Wir haben hier zwei Konstantensymbole 0 und 1, deren intendierte Interpretation das Null- und das Einselement eines Ringes sind, und zwei Funktionssymbole, die für Addition und Multiplikation stehen. Mittels dieser Konstanten lassen sich Terme und Gleichungen aufbauen. So bedeutet etwa

$1+\ldots+1 = 0$, wobei hier p Einsen addiert werden sollen, p Primzahl,

dass der Ring die Charakteristik p hat. Nimmt man diese aus Konstanten aufgebaute Aussage zur Menge der Ringaxiome hinzu, kommt man zur Theorie der Ringe mit Charakteristik p.

Ein wichtiges Beweisverfahren ist die sogenannte Konstantenexpansion^[5]. Dabei erweitert man eine betrachtete Sprache um eine Menge von neuen Konstanten, um für Beweiszwecke hinreichend viele von ihnen in der so erweiterten Sprache zur Verfügung zu haben.

Quellen

1. ↑ Tarski, Einführung in die mathematische Logik, 5. Aufl. (1977), S. 17
2. ↑ Dieser Absatz folgt besonders eng: John MacFarlane: Logical Constants, in: Stanford Encyclopedia of Philosophy (englisch, inklusive Literaturangaben)
3. ↑ Christopher Peacocke: „What Is a Logical Constant?“, Journal of Philosophy 73(1976), Seite 221–240
4. ↑ Heinz-Dieter Ebbinghaus, Jörg Flum, Wolfgang Thomas: Einführung in die mathematische Logik, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg/Berlin/Oxford 1996, ISBN 3-8274-0130-5, Kap II, Definition 2.1
5. ↑ Wolfgang Rautenberg: Einführung in die mathematische Logik, Friedr. Vieweg & Sohn 2002, ISBN 3-528-16754-8, Kapitel III, §2

Literatur

• Christopher Peacocke: „What Is a Logical Constant?“, Journal of Philosophy 73(1976), Seite 221–240

Weblinks

• John MacFarlane: Logical Constants, in: Stanford Encyclopedia of Philosophy (englisch, inklusive Literaturangaben)