Kronecker-Delta

Das Kronecker-Delta ist ein mathematisches Zeichen, das durch ein kleines Delta mit zwei Indizes (typischerweise $\delta_{ij}\,$) dargestellt wird und nach Leopold Kronecker benannt ist. Es wird manchmal auch als Kronecker-Symbol bezeichnet, obwohl es noch ein anderes Kronecker-Symbol gibt.

Der auch gebräuchliche Begriff Deltafunktion ist irreführend, weil damit häufiger das Dirac-Delta bezeichnet wird.

Es wird vor allem in Summenformeln im Zusammenhang mit Matrix- oder Vektoroperationen verwendet, oder um Fallunterscheidungen in Formeln zu vermeiden.

Definition

Das Kronecker-Delta ist definiert als:

$\delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{falls } i = j \\ 0 & \text{falls } i \neq j \end{cases}$

Dabei können i und j Elemente einer beliebigen Indexmenge I sein, meist jedoch einer endlichen Teilmenge der natürlichen Zahlen.

In der digitalen Signalverarbeitung ist für diskrete Signalfolgen auch die Nomenklatur

$\delta[n] = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ne 0 \end{cases}$

mit $n \in \mathbb{Z}$ üblich. Die Funktion wird in diesem Zusammenhang als „Einheitsimpuls“ bezeichnet und dient der Ermittlung der Impulsantwort in diskreten Systemen wie beispielsweise digitalen Filtern.^[1]

Eigenschaften

Das Kronecker-Delta kann in der Form

$\delta=\mathrm{1}_D\colon I\times I\to \{0,1\}$,

geschrieben werden, ist also die charakteristische Funktion 1_D der Diagonalmenge $D=\{(i,j)\in I\times I \mid i=j\}$. Häufig wird dabei an Stelle von {0,1} ein erweiterter Bildraum, z.B. die reellen Zahlen, betrachtet.

Manchmal ist eine alternative Darstellung in der Form

$\delta_{nm} = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^N e^{2 \pi i \frac{k}{N}(n-m)}$

für große N hilfreich.

Zusammenhang mit der Delta-Distribution

Unter bestimmten Bedingungen kann die Delta-Distribution (Dirac-Impuls) in das Kronecker-Delta übergehen, wie beispielsweise in der Signalverarbeitung wenn die Delta-Distribution genau am Abtastpunkt auftritt und durch einen idealen Tiefpassfilter geleitet wird, so entspricht die gebildete Folge dem Kronecker-Delta.

Beispiele

• In der linearen Algebra kann die $n\times n$-Einheitsmatrix als $(\delta_{ij})_{i,j\in\{1,\ldots,n\}}$ geschrieben werden.

• Mit dem Kronecker-Delta kann man das Skalarprodukt orthonormierter Vektoren $e_1, \dots, e_n$ als $\langle e_i, e_j\rangle = \delta_{ij}$ schreiben.

Siehe auch

• Levi-Civita-Symbol

Einzelnachweise

1. ↑ Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer: Zeitdiskrete Signalverarbeitung. 3. Auflage. Oldenbourg Verlag, 1999, ISBN 3-486-24145-1.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Kronecker Delta. In: MathWorld. (englisch)