- Kugelkondensator
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Unter einem Kugelkondensator versteht man einen elektrischen Kondensator welcher aus zwei konzentrischen, gegeneinander isolierten, metallischen Kugeloberflächen besteht.
Für die Kapazität eines Kugelkondensators mit den Radien R1 und R2 gilt:
, mit
ε0 ist hierbei die elektrische Feldkonstante. εr ist die Dielektrizitätszahl welche im Vakuum gleich 1 ist.
Inhaltsverzeichnis
Herleitung der Kapazität
Für eine infinitesimal kleine Kugelschale zwischen R1 und R2 gilt für die infinitesimal kleine Kapazität der bekannte Zusammenhang des Plattenkondensators:
wobei A(r) die Oberfläche einer Kugel ist. Integriert man nun, so ergibt sich:
Umgestellt nach der Kapazität C ergibt dies oben genannte Formel.
Alternativ lässt sich auch die Definition
nutzen, wenn man die Formel im Abschnitt Spannung zwischen innerer und äußerer Platte verwendet.
Näherungen
- Wenn
ist, kann man angenähert R1 = R2 = R setzen und erhält:
.
- Wenn
ist, kann man angenähert R2 − R1 = R2 setzen und erhält:
,
die Kapazität wird vom Radius der Innenkugel bestimmt.
Diese Näherung beschreibt auch die Kapazität einer freistehenden Kugel, da hier die Gegenelektrode sehr weit entfernt ist (
und somit
).
Ladungsdichte
Die Ladungsdichte lässt sich schreiben als
, wobei δ die Dirac'sche Delta-Distribution ist.
Elektrisches Feld
Das elektrische Feld zwischen den zwei Kondensatorschalen lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:
wobei R1 < r < R2
Das Feld ist nicht homogen, sondern abhängig vom Abstand r zum Mittelpunkt des Kondensators. Außerhalb des Kondensators ist das Feld = 0.
Elektrisches Potential
Das elektrische Potential berechnet sich als
, das abschnittsweise definiert ist.
- Für
ist φ(r) = 0.
- Für R1 < r < R2 ist
.
- Für
ist
.
Spannung zwischen innerer und äußerer Platte
Die Spannung zwischen der inneren und äußeren Kugel berechnet sich wie folgt:
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