Kähler-Mannigfaltigkeit

In der Mathematik bezeichnet man mit Kählermannigfaltigkeit (nach Erich Kähler) eine glatte Mannigfaltigkeit M zusammen mit einer komplexen Struktur J und einer Riemannschen Metrik (im Sinne einer riemannschen Mannigfaltigkeit) g, die mit einander verträglich sind. Der Begriff der Kählermannigfaltigkeit findet Anwendung in der Darstellungstheorie von Liegruppen und ist ein zentraler Begriff der geometrischen Quantisierung.

Definition

Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit, $J : TM \to TM$ eine komplexe Struktur und $g : \mathcal{V}(M)\times \mathcal{V}(M) \to \mathbb{R}$, wobei $\mathcal{V}(M)$ der Raum der Vektorfelder auf $\; M$ ist, eine Riemannsche Metrik. Das Tripel $\; (M,J,g)$ heißt Kählermannigfaltigkeit, wenn

$\;g(J X ,J Y)=g(X,Y)$ und

$\;g(J X,Y)$ definiert eine symplektische Form $\;\Omega(X,Y)$,

für alle Vektorfelder $X,Y\in \mathcal{V}(M)$ gilt.