Kählermannigfaltigkeit

In der Mathematik bezeichnet man mit Kählermannigfaltigkeit (nach Erich Kähler) eine glatte Mannigfaltigkeit zusammen mit einer komplexen Struktur und einer riemannschen Metrik (im Sinne einer riemannschen Mannigfaltigkeit), die miteinander verträglich sind. Der Begriff der Kählermannigfaltigkeit findet Anwendung in der Darstellungstheorie von Lie-Gruppen und ist ein zentraler Begriff der geometrischen Quantisierung. Ein auch in der Stringtheorie wichtiges Beispiel für Kählermannigfaltigkeiten sind Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten.

Definition

Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit, $J : TM \to TM$ eine komplexe Struktur und $g \colon \mathcal{V}(M)\times \mathcal{V}(M) \to \mathbb{R}$ eine riemannsche Metrik, wobei $\mathcal{V}(M)$ den Raum der glatten Vektorfelder auf $\; M$ bezeichnet. Das Tripel $\; (M,J,g)$ heißt Kählermannigfaltigkeit, wenn

• g(JX,JY) = g(X,Y)

und

• g(JX,Y) ist eine symplektische Form

für alle Vektorfelder $X,Y\in \mathcal{V}(M)$ gilt.

Falls der Ricci-Tensor proportional zur riemannschen Metrik ist, so spricht man auch von einer Kähler-Einstein- (oder Einstein-Kähler)-Mannigfaltigkeit. Für weitere Details vgl. den Artikel einsteinsche Mannigfaltigkeit.

Weblinks

• SpringerLink: Kähler manifold

Literatur

• Alan Huckleberry and Tilman Wurzbacher, eds: Infinite Dimensional Kähler Manifolds (2001), Birkhauser Verlag, Basel ISBN 3-7643-6602-8
• Andrei Moroianu: Lectures on Kähler Geometry (2007), London Mathematical Society Student Texts 69, Cambridge ISBN 978-0-521-68897-0