Riemannsche Mannigfaltigkeit

Eine riemannsche Mannigfaltigkeit oder ein riemannscher Raum ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der riemannschen Geometrie. Diese Mannigfaltigkeiten haben die zusätzliche Eigenschaft, dass sie eine Metrik ähnlich wie ein Prähilbertraum besitzen. Mit Hilfe dieser riemannschen Metrik lassen sich dann die wesentlichen, geometrischen Eigenschaften der Mannigfaltigkeit beschreiben. So gelten auf jeder riemannschen Mannigfaltigkeit die folgenden, teilweise identischen, Eigenschaften:

• Die kürzesten Strecken zwischen unterschiedlichen Punkten (die sogenannten Geodäten) sind nicht zwingend Geradenstücke, sondern können gekrümmte Kurven sein.
• Die Winkelsumme von Dreiecken kann, im Gegensatz zur Ebene, auch größer (z. B. Kugel) oder kleiner (hyperbolische Räume) als 180° sein.
• Die Parallelverschiebung von Tangentialvektoren entlang geschlossener Kurven kann die Richtung des Vektors ändern.
• Das Ergebnis einer Parallelverschiebung eines Tangentialvektors hängt auch vom Weg ab, entlang dessen der Tangentialvektor verschoben wird.
• Die Krümmung ist im Allgemeinen eine Funktion des Ortes auf der Mannigfaltigkeit.
• Abstandsmessungen zwischen unterschiedlichen Punkten sind nur mit Hilfe einer Metrik möglich, die vom Ort auf der Mannigfaltigkeit abhängen kann.

Der etwas allgemeinere Begriff der pseudo-riemannschen oder semi-riemannschen Mannigfaltigkeit ist in der allgemeinen Relativitätstheorie von entscheidender Bedeutung, da die Raumzeit als solche beschrieben wird.

Mathematische Definition

Riemannsche Mannigfaltigkeit

Eine riemannsche Mannigfaltigkeit ist eine differenzierbare n-dimensionale Mannigfaltigkeit M mit einer Funktion g, die jedem Punkt $p \in M$ ein Skalarprodukt des Tangentialraums T_pM zuordnet, das heißt eine positiv definite, symmetrische Bilinearform

$g_p\colon T_pM\times T_pM\to\mathbb R$,

die differenzierbar von p abhängt. Das heißt bei gegebenen differenzierbaren Vektorfeldern $X,\,Y \in \mathfrak{X}(M)$ ist

$\begin{align} M&\to\mathbb R \\ p &\mapsto g_p(X_p, Y_p) \end{align}$

eine differenzierbare Funktion. Die Funktion g heißt riemannsche Metrik oder auch metrischer Tensor, ist aber keine Metrik im Sinne der metrischen Räume.

Riemannsche Mannigfaltigkeiten als metrische Räume

Die riemannsche Metrik ist keine Metrik sondern ein Skalarprodukt. Man kann jedoch ähnlich wie in der Theorie der metrischen Räume aus dem Skalarprodukt eine Metrik gewinnen. Da auf Mannigfaltigkeiten der kürzeste Weg keine gerade Strecke sein muss, ist die Definition etwas komplizierter. Die Abstandsfunktion wird dann definiert durch

$d(x,y):=\inf\{L(\gamma)\mid\gamma\colon[0,1]\to M,\gamma(0)=x, \gamma(1)=y\}.$

Dabei durchläuft γ alle (stückweise) differenzierbaren Wege, die x und y verbinden, und L(γ) bezeichnet die Länge von γ, die gemäß

$L(\gamma)=\int_0^1 \!\sqrt{g_{\gamma(t)}(\dot \gamma(t),\dot \gamma(t))} \,\mathrm dt$

definiert ist. Das Funktional L wird auch Längenfunktional genannt. Ein Weg, der lokal (d.h. für ausreichend nahe beieinander liegende Punkte) die kürzeste Verbindung realisiert, heißt Geodätische.

Die so definierte Metrik d induziert wieder die ursprüngliche Topologie von M. Da man zeigen kann, dass jede differenzierbare n-dimensionale Mannigfaltigkeit riemannsche Metriken besitzt, bedeutet dies, dass jede differenzierbare n-dimensionale Mannigfaltigkeit metrisierbar ist. Ähnlich wie bei metrischen Vektorräumen kann man auch von vollständigen riemannschen Mannigfaltigkeiten sprechen. Der Satz von Hopf-Rinow ist das zentrale Resultat bezüglich der Vollständigkeit riemannscher Mannigfaltigkeiten.

Beispiele

Euklidischer Vektorraum

Ein euklidischer Vektorraum ist isometrisch isomorph zum $\R^n$ mit dem Standardskalarprodukt

$\langle (x_1, \ldots x_n), (y_1, \ldots , y_n) \rangle = x_1y_1 + \ldots + x_ny_n.$

Der Vektorraum $\R^n$ kann als differenzierbare Mannigfaltigkeit verstanden werden und zusammen mit dem Standardskalarprodukt wird er zu einer riemannschen Mannigfaltigkeit. In diesem Fall ist der Tangentialraum $T_x\R^n$ identisch mit dem Ausgangsraum, also wieder der $\R^n$.

Induzierte Metrik

Da das Tangentialbündel TN einer Untermannigfaltigkeit einer riemannschen Mannigfaltigkeit M auch eine Teilmenge des Tangentialbündels TM von M ist, kann die Metrik von M auch auf die Tangentialvektoren der Untermannigfaltigkeit N angewendet werden. Die so erhaltene Metrik der Untermannigfaltigkeit wird deswegen auch induzierte Metrik genannt. Die Untermannigfaltigkeit N bildet zusammen mit der induzierten Metrik wieder eine riemannsche Mannigfaltigkeit.

Induzierte Metriken finden insbesondere bei der geometrischen Untersuchung von Kurven und Flächen, als reelle Untermannigfaltigkeiten des $\R^n$, Verwendung.

Geschichte

Gauß’ Theorie der gekrümmten Flächen verwendet eine extrinsische Beschreibung, d.h., die gekrümmten Flächen werden mit Hilfe eines umgebenden, euklidischen Raumes beschrieben. Riemann vertritt dagegen einen abstrakteren Ansatz. Diesen Ansatz und die zugehörigen Definitionen führte Riemann in seinem Habilitationsvortrag Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen vom 10. Juni 1854 an der Universität Göttingen ein. Dort wurden auch viele Definitionen vorgestellt, die noch heute in der modernen Mathematik verwendet werden. Von parakompakten Räumen war damals jedoch noch nicht die Rede. Anstelle von Kurven und Tangentialvektoren verwendete Riemann damals infinitesimale Linienelemente.

Seit Anfang des 19. Jahrhunderts werden so genannte nichteuklidische Geometrien diskutiert. Die riemannsche Geometrie hat dabei gerade die geeigneten Definitionen und die geeignete Sprache, um diese Geometrien von einem allgemeinen Standpunkt aus zu beschreiben. Der Begriff der riemannschen Mannigfaltigkeit bildete zum Anfang des 20. Jahrhunderts einen grundlegenden Ausgangspunkt für die Entwicklung der allgemeinen Relativitätstheorie.

Literatur

• Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry, Birkhäuser, Boston 1992, ISBN 0-8176-3490-8
• Marcel Berger: A panoramic view of Riemannian geometry. Springer-Verlag, Berlin, 2003, ISBN 3-540-65317-1
• Sylvestre Gallot, Dominique Hulin, Jacques Lafontaine: Riemannian Geometry (Second Edition), Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1990, ISBN 3-540-52401-0
• Martin Schottenloher: Geometrie und Symmetrie in der Physik, vieweg Lehrbuch, 1995, ISBN 3-528-06565-6

Weblinks

• Bernhard Riemann: Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, Inauguralvorlesung, Thema von Carl Friedrich Gauß vorgeschlagen