- Lebesguezahl
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Die Lebesguezahl ist eine (nicht eindeutige) Zahl, die man einer offenen Überdeckung eines kompakten metrischen Raums zuordnen kann. Sie hängt im allgemeinen sowohl vom betrachteten Raum als auch von der Überdeckung ab - es gibt also nicht die Lebesguezahl, sondern unendlich viele. Benannt wurde sie nach dem französischen Mathematiker Henri Léon Lebesgue.
Sie dient oft als Hilfsmittel, wenn Endlichkeitsbedingungen gegeben sind.
Satz von der Existenz
Der Satz von der Existenz einer Lebesguezahl ist ein Lemma aus dem Gebiet der Topologie.
Er besagt, dass für jeden kompakten metrischen Raum (X,d) gilt:
Zu jeder offenen Überdeckung
existiert eine Zahl δ > 0 sodass jede Teilmenge
mit Durchmesser d(A) < δ in einer Überdeckungsmenge
enthalten ist, also
. Diese Zahl δ heißt Lebesguezahl der Überdeckung
für X.
Jede kleinere Zahl ist somit natürlich auch eine Lebesguezahl zu dieser Überdeckung und diesem Raum.
Beweis
Sei X ein kompakter metrischer Raum und
eine offene Überdeckung von X. Wenn
, kann jede Zahl δ > 0 gewählt werden, da ja alle Teilmengen
in einer Überdeckungsmenge enthalten sind.
Sei also nun
. Da X kompakt ist, lässt sich aus
eine endliche Teilüberdeckung wählen, sei also
eine (endliche) Überdeckung von X.
Für alle
, setze
und definiere eine Funktion
durch
.
Für ein beliebiges, aber festes
wähle nun i so, dass
. Wähle nun ein ε > 0 klein genug, sodass die ε-Umgebung von x in der gewählten Überdeckungsmenge liegt, also
. Nun ist
, also ist
. Die Funktion f ist somit auf ganz X positiv.
Da f stetig und auf einem Kompaktum definiert ist, nimmt es ein Minimum δ>0 an. Dieses ist die gesuchte Lebesguezahl:
Sei
eine Teilmenge mit Durchmesser kleiner δ. Für jedes
liegt B nun in der δ-Umgebung von x. Wähle nun ein beliebiges, aber festes
.
Sei nun m so gewählt, dass d(x0,Ci) für i=m maximal wird. Nun ist
und die δ-Umgebung Uδ(x0) von x0 und damit B liegen ganz in
aus der Überdeckung
. Damit ist jetzt also ein δ mit der Eigenschaft der Lebesguezahl gefunden.
Weblinks
- Skript zum Satz von Seifert van Kampen für eine Anwendung der Lebesguezahl (und einen weiteren Beweis; PDF-Datei; 505 kB)
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