Legendresche Differentialgleichung

Die Legendre-Polynome, auch zonale Kugelfunktionen genannt, sind die partikulären Lösungen der legendreschen Differentialgleichung. Sie sind spezielle reelle oder komplexe Polynome, die ein orthogonales Funktionensystem bilden. Benannt sind sie nach dem Mathematiker Adrien-Marie Legendre. Eine wichtige Rolle spielen die Legendre-Polynome in der theoretischen Physik, insbesondere in der Elektrodynamik und in der Quantenmechanik.

Herkunft

Konstruktion orthogonaler Polynome

Für ein Intervall I = [a,b] und eine darauf gegebene Gewichtsfunktion $\varrho(x)$ ist eine Folge (P_n) von reellen Polynomen $P_n\in\R[X]$ orthogonal, wenn sie die Orthogonalitätsbedingung

$\int\limits_a^b \varrho(x) \, P_n(x) \, P_m(x) \, {\rm d}x = 0$

für alle $m, n\in\Bbb N_0$ mit $m\neq n$ erfüllt. Für das Intervall I = [ − 1,1] zusammen mit der einfachsten aller Gewichtsfunktionen $\varrho(x) = 1$ können solche orthogonale Polynome mit Hilfe des Gram-Schmidt'schen Orthogonalisierungsverfahren ausgehend von den Monomen $(x^n)_{n\in \Bbb N}$ iterativ erzeugt werden. Die Legendre-Polynome ergeben sich, wenn dabei zusätzlich P_n(1) = 1 gefordert wird.

Legendresche Differentialgleichung

Die Legendre-Polynome P_n(x) sind Lösungen der legendreschen Differentialgleichung

$(1-x^2)\,f''(x)-2x\,f'(x)+n(n+1)\,f(x)=0,\quad n\in\mathbb{N}_0,$

welche auch in der Form

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ (1-x^2) \, f'(x) \right] + n(n+1) \, f(x) = 0$

geschrieben werden kann. Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung lautet

$f(x)=A\,P_n(x)+B\,Q_n(x)$

mit den beiden linear unabhängigen Funktionen P_n(x) und Q_n(x). Man bezeichnet die Legendre-Polynome P_n(x) daher auch als Legendre-Funktionen 1. Art und Q_n(x) als Legendre-Funktionen 2. Art, denn diese sind keine Polynome mehr.

Legendre-Polynome

Das n-te Legendre-Polynom hat den Grad n und ist aus $\Bbb Q[x]$, d.h., es hat rationale Koeffizienten. Für die Legendre-Polynome gibt es mehrere Darstellungsformen bzw. man kann sie rekursiv bestimmen.

Rodrigues-Formel

$P_n(x) = \frac{1}{2^n\,n!}\cdot {\mathrm{d}^n \over \mathrm{d}x^n } \left[ (x^2 -1)^n \right]$

Alternative Darstellung

$P_n(x) = \sum_{k=0}^{k_{MAX}} (-1)^k \frac{(2n - 2k)! \ x^{n-2k}}{(n-k)! \ (n-2k)! \ k! \ 2^n}$

mit

$k_{MAX} = \begin{cases} \frac{n}{2} & n \ gerade\\ \frac{n-1}{2} & n \ ungerade \end{cases}$

Integraldarstellung

Für alle $x \in \mathbb{C} \setminus \{+1, -1\}$ gilt

$P_n(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \left[x + \sqrt{x^2 - 1} \cos\varphi\right]^n \, \mathrm{d}\varphi$

Rekursionsformeln

Für die Legendre-Polynome gelten folgende Rekursionsformeln:

$(n+1)P_{n+1}(x) = (2n+1)xP_n(x)-nP_{n-1}(x) \,\,\,\,\,\quad\quad (n=1,2,\ldots)$

$(x^2-1){\mathrm{d} \over \mathrm{d}x } P_n(x) = n xP_n(x)-nP_{n-1}(x)$

Die erste rekursive Formel lässt sich mittels der Substitution n'=n+1 auch wie folgt darstellen:

$nP_{n}(x) = (2n-1)xP_{n-1}(x)-(n-1)P_{n-2}(x) \,\,\,\,\,\quad\quad (n=2,3,\ldots)$

Durch Anwendung der Ableitungsregel für Ausdrücke der Art y = xⁿ mit y^' = nx^{n − 1} = nx ^{− 1}y, bzw. y^(m) = (n − m + 1)x ^{− 1}y^{(m − 1)} ergibt sich folgende rekursive Darstellung der Legendre-Polynome, welche auch die Ableitungen dieser Polynome berücksichtigt:

$(n-m)P_{n}^{(m)}(x) = (2n-1)xP_{n-1}^{(m)}(x)-(n-1+m)P_{n-2}^{(m)}(x) \,\,\,\,\,\quad\quad (n,m=0,1,\ldots)$

Die Anfangsbedingungen lauten $P_m^{(m)}(x)={(2m)! \over 2^m m!}$ und $P_{m+1}^{(m)}(x)={(2m+1)! \over 2^mm!}$ .

Bei m = 0 ergibt sich wiederum die weiter oben angegebene Formel mit ihren Anfangsbedingungen.

Eigenschaften

Vollständiges Orthogonalsystem

Man betrachte den Hilbert-Raum $V:= L^2([-1,1]; \R)$, ausgestattet mit dem Skalarprodukt $\langle f,g \rangle = \int_{-1}^1f(x)g(x){\rm d}x$. Die Familie (P_n)_n der Legendre-Polynome bildet auf $(V, \langle\cdot,\cdot\rangle)$ ein vollständiges Orthogonalsystem. Normiert man noch (oder ändert man das Skalarprodukt durch Multiplikation von Konstanten ab), so bilden sie ein vollständiges Orthonormalsystem auf V. $\int\limits_{-1}^{1} P_n(x) P_m(x)\, dx \,=\, \frac{2}{2n+1} \delta_{nm}$, wobei δ_nm das Kronecker-Delta bezeichnet. Dabei bedeutet die Vollständigkeit, dass sich jede Funktion $f\in V$ (natürlich im Sinne der von $\langle\cdot,\cdot\rangle$ erzeugten Topologie) nach Legendre-Polynomen „entwickeln“ lässt:

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n \, P_n(x)$

mit den Entwicklungskoeffizienten

$c_n = \frac{2\,n+1}{2} \, \int\limits_{-1}^1 f(x)\,P_n(x) \, {\rm d}x.$

In der physikalischen oder technischen Literatur wird die Vollständigkeit gern wie folgt als Distributionsgleichung geschrieben:

$\sum_{n=0}^\infty \frac{2\,n+1}{2} \, P_n(x') \, P_n(x) = \delta(x'-x)$

wobei δ die diracsche Delta-Distribution ist. Eine solche Distributionsgleichung ist immer so zu lesen, dass beide Seiten dieser Gleichung auf Testfunktionen anzuwenden sind. Wendet man die rechte Seite auf eine solche Testfunktion $x\mapsto f(x)$ an, so erhält man f(x'). Zur Anwendung der linken Seite muss man definitionsgemäß mit f(x) multiplizieren und anschließend über x integrieren. Dann erhält man aber genau obige Entwicklungsformel (mit x' an Stelle von x). Orthogonalität und Vollständigkeit lassen sich daher kurz und prägnant wie folgt schreiben:

• Orthogonalität: $\langle P_n, P_m \rangle = 0$ für $m \neq n$.
• Vollständigkeit: $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{2n+1}{2}\langle f,P_n\rangle \, P_n(x)$ für alle $f\in L^2([-1,1]; \R)$ (im Sinne der L²-Konvergenz).

Eigenschaften als orthogonales Polynom

P_n(x) hat auf dem Intervall I = [ − 1,1] genau n einfache Nullstellen. Zwischen zwei benachbarten Nullstellen von P_n(x) liegt genau eine Nullstelle von P_{n + 1}(x).

Allgemeine Eigenschaften

P_n(1) = 1

$P_n(-x) = (-1)^n \, P_n(x)$

$P_{2\,n+1}(0) = 0$

Erzeugende Funktion

Für alle $x \in \mathbb{C}$, $z \in \mathbb{C}$, | z | < 1 gilt

$(1 - 2xz + z^2)^{-1/2} = \sum_{n=0}^\infty P_n(x) z^n\ .$

Dabei hat die Potenzreihe auf der rechten Seite für $-1 \le x \le +1$ den Konvergenzradius 1.

Die Funktion $z \mapsto (1 - 2xz + z^2)^{-1/2}$ wird daher als erzeugende Funktion der Legendre-Polynome P_n bezeichnet.

Der in der Physik oft auftretende Term $1/|\vec{x}-\vec{x}\,'|$ (z. B. in den Potentialen der newtonschen Gravitation oder der Elektrostatik) lässt sich damit in eine Potenzreihe entwickeln für $\tfrac{|\vec{x}\,'|}{|\vec{x}|}=\tfrac{r\,'}{r}&amp;amp;lt;1$:

$\frac{1}{|\vec{x}-\vec{x}\,'|}=\frac{1}{\sqrt{\vec{x\,}^{2}-2\vec{x}\cdot\vec{x}\,'+\vec{x}\,'^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{r^{2}-2rr\,'\cos\alpha+r\,'^{2}}}=\frac{1}{r\sqrt{1-2\frac{r'}{r}\cos\alpha+(\frac{r'}{r})^{2}}}=\frac{1}{r}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{r\,'}{r}\right)^{n}P_{n}(\cos\alpha)$

Die ersten Legendre-Polynome

Die ersten vier Legendre–Polynome

Die ersten Legendre-Polynome auf [ − 1,1] lauten:

$P_0(x) = 1\,$

$P_1(x) = x\,$

$P_2(x) = \frac{1}{2} (3x^2 - 1)$

$P_3(x) = \frac{1}{2} (5x^3 - 3x)$

$P_4(x) = \frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3)$

$P_5(x) = \frac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x)$

Legendre-Funktionen 2. Art

Die Rekursionsformeln der Legendre-Polynome gelten auch für die Legendre-Funktionen 2. Art, so dass diese sich iterativ mit der Angabe der ersten bestimmen lassen:

$Q_0(x) = \frac{1}{2}\,\ln\left( \frac{1+x}{1-x} \right)={\rm artanh}(x)$

$Q_1(x) = \frac{x}{2}\,\ln\left( \frac{1+x}{1-x} \right) - 1 =x \, {\rm artanh}(x) - 1$

$Q_2(x) = \frac{3\,x^2 - 1}{4} \, \ln\left( \frac{1+x}{1-x} \right) - \frac{3\,x}{2}$

$Q_3(x) = \frac{5\,x^3 - 3\,x}{4} \, \ln\left( \frac{1+x}{1-x} \right) - \frac{5\,x^2}{2} + \frac{2}{3}$

Siehe auch

• Zugeordnete Legendre-Polynome
• Spezielle Funktionen

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Legendre Polynomial auf MathWorld (englisch)
• J. B. Calvert: Legendre Polynomials (englisch)