Legendre-Polynom

Die Legendre-Polynome (nach Adrien-Marie Legendre), auch zonale Kugelfunktionen genannt, sind spezielle Polynome, die auf dem Intervall [-1,1] ein orthogonales Funktionensystem bilden. Sie sind die partikulären Lösungen der legendreschen Differentialgleichung. Eine wichtige Rolle spielen die Legendre-Polynome in der theoretischen Physik, insbesondere in der Elektrodynamik und in der Quantenmechanik.

Herkunft

Konstruktion orthogonaler Polynome

Für ein Intervall I = [a,b] und eine darauf gegebene Gewichtsfunktion $\varrho(x)$ ist eine Folge (P_n) von reellen Polynomen $P_n\in\R[X]$ orthogonal, wenn sie die Orthogonalitätsbedingung

$\int\limits_a^b \varrho(x) \, P_n(x) \, P_m(x) \, {\rm d}x = 0$

für alle $m, n\in\Bbb N_0$ mit $m\neq n$ erfüllt.

Für das Intervall I = [ − 1,1] zusammen mit der einfachsten aller Gewichtsfunktionen $\varrho(x) = 1$ können solche orthogonale Polynome mit Hilfe des Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren ausgehend von den Monomen $(x^n)_{n\in \Bbb N}$ iterativ erzeugt werden. Die Legendre-Polynome ergeben sich, wenn dabei zusätzlich P_n(1) = 1 gefordert wird.

Legendresche Differentialgleichung

Die Legendre-Polynome P_n(x) sind Lösungen der legendreschen Differentialgleichung

$\left(1-x^2\right)\,f''(x)-2x\,f'(x)+n(n+1)\,f(x)=0,\quad n\in\mathbb{N}_0,$

welche auch in der Form

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ \left(1-x^2\right) \, f'(x) \right] + n(n+1) \, f(x) = 0$

geschrieben werden kann. Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung lautet

$f(x)=A\,P_n(x)+B\,Q_n(x)$

mit den beiden linear unabhängigen Funktionen P_n(x) und Q_n(x). Man bezeichnet die Legendre-Polynome P_n(x) daher auch als Legendre-Funktionen 1. Art und Q_n(x) als Legendre-Funktionen 2. Art, denn diese sind keine Polynome mehr.

Darüber hinaus existiert noch eine verallgemeinerte Legendresche Differentialgleichung, deren Lösungen zugeordnete Legendrepolynome heißen.

Legendre-Polynome

Das n-te Legendre-Polynom hat den Grad n und ist aus $\Bbb Q[x]$, d.h., es hat rationale Koeffizienten. Für die Legendre-Polynome gibt es mehrere Darstellungsformen bzw. man kann sie rekursiv bestimmen.

Monomdarstellung

Die ersten sechs Legendre–Polynome

Die ersten Legendre-Polynome lauten:

$P_0(x) = 1\,$

$P_1(x) = x\,$

$P_2(x) = \frac{1}{2} (3x^2 - 1)$

$P_3(x) = \frac{1}{2} (5x^3 - 3x)$

$P_4(x) = \frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3)$

$P_5(x) = \frac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x)$

$P_6(x) = \frac{1}{16}(231x^6-315x^4+105x^2-5)$

Rodrigues-Formel

$P_n(x) = \frac{1}{2^n\,n!}\cdot {\mathrm{d}^n \over \mathrm{d}x^n } \left[ (x^2 -1)^n \right]$

Alternative Darstellung

$P_n(x) = \sum_{k=0}^{k_\mathrm{MAX}} (-1)^k \frac{(2n - 2k)! \ x^{n-2k}}{(n-k)! \ (n-2k)! \ k! \ 2^n}$

mit

$k_\text{MAX} = \begin{cases} \frac{n}{2} & n \ \text{gerade}\\ \frac{n-1}{2} & n \ \text{ungerade} \end{cases}$

Integraldarstellung

Für alle $x \in \mathbb{C} \setminus \{+1, -1\}$ gilt

$P_n(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \left[x + \sqrt{x^2 - 1} \cos\varphi\right]^n \, \mathrm{d}\varphi$

Rekursionsformeln

Für die Legendre-Polynome gelten folgende Rekursionsformeln:

$\begin{align} (n+1)P_{n+1}(x) &= (2n+1)xP_n(x)-nP_{n-1}(x) \,\,\,\,\,\quad\quad (n=1,2,\ldots; P_0=1; P_1=x)\\ (x^2-1){\mathrm{d} \over \mathrm{d}x } P_n(x) &= n xP_n(x)-nP_{n-1}(x) \end{align}$

Die erste rekursive Formel lässt sich mittels der Substitution n' = n + 1 in folgender, häufig zu findenden Weise darstellen:

$nP_{n}(x) = (2n-1)xP_{n-1}(x)-(n-1)P_{n-2}(x) \,\,\,\,\,\quad\quad (n=2,3,\ldots; P_0=1; P_1=x)$

Durch Anwendung der Ableitungsregel für Ausdrücke der Art y = xⁿ mit y^' = nx^{n − 1} = nx ^{− 1}y, bzw. y^(m) = (n − m + 1)x ^{− 1}y^{(m − 1)} ergibt sich folgende rekursive Darstellung der Legendre-Polynome, welche auch die Ableitungen dieser Polynome berücksichtigt:

$(n-m)P_{n}^{(m)}(x) = (2n-1)xP_{n-1}^{(m)}(x)-(n-1+m)P_{n-2}^{(m)}(x) \,\,\,\,\,\quad\quad (n>1;\,\, m=0\ldots n-1)$

Die Anfangsbedingungen lauten $P_m^{(m)}(x)={(2m)! \over 2^m m!}$ und $P_{k}^{(m)}(x)={0} \,\,\,\,\,\quad\quad (k<m)$ .

Bei m = 0 ergibt sich wiederum die weiter oben angegebene Formel mit ihren Anfangsbedingungen.

Eigenschaften

Vollständiges Orthogonalsystem

Man betrachte den Hilbert-Raum $V:= L^2([-1,1]; \R)$, ausgestattet mit dem Skalarprodukt $\langle f,g \rangle = \int_{-1}^1f(x)g(x){\rm d}x$. Die Familie (P_n)_n der Legendre-Polynome bildet auf $(V, \langle\cdot,\cdot\rangle)$ ein vollständiges Orthogonalsystem, sie sind also ein Spezialfall von orthogonalen Polynomen. Normiert man noch (oder ändert man das Skalarprodukt durch Multiplikation von Konstanten ab), so bilden sie ein vollständiges Orthonormalsystem auf V. $\int\limits_{-1}^{1} P_n(x) P_m(x)\, dx \,=\, \frac{2}{2n+1} \delta_{nm}$, wobei δ_nm das Kronecker-Delta bezeichnet. Dabei bedeutet die Vollständigkeit, dass sich jede Funktion $f\in V$ (natürlich im Sinne der von $\langle\cdot,\cdot\rangle$ erzeugten Topologie) nach Legendre-Polynomen „entwickeln“ lässt:

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n \, P_n(x)$

mit den Entwicklungskoeffizienten

$c_n = \frac{2\,n+1}{2} \, \int\limits_{-1}^1 f(x)\,P_n(x) \, {\rm d}x.$

In der physikalischen oder technischen Literatur wird die Vollständigkeit gern wie folgt als Distributionsgleichung geschrieben:

$\sum_{n=0}^\infty \frac{2\,n+1}{2} \, P_n(x') \, P_n(x) = \delta(x'-x)$

wobei δ die diracsche Delta-Distribution ist. Eine solche Distributionsgleichung ist immer so zu lesen, dass beide Seiten dieser Gleichung auf Testfunktionen anzuwenden sind. Wendet man die rechte Seite auf eine solche Testfunktion $x\mapsto f(x)$ an, so erhält man f(x'). Zur Anwendung der linken Seite muss man definitionsgemäß mit f(x) multiplizieren und anschließend über x integrieren. Dann erhält man aber genau obige Entwicklungsformel (mit x' an Stelle von x). Orthogonalität und Vollständigkeit lassen sich daher kurz und prägnant wie folgt schreiben:

• Orthogonalität: $\langle P_n, P_m \rangle = 0$ für $m \neq n$.
• Vollständigkeit: $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{2n+1}{2}\langle f,P_n\rangle \, P_n(x)$ für alle $f\in L^2([-1,1]; \R)$ (im Sinne der L²-Konvergenz).

Nullstellen

P_n(x) hat auf dem Intervall I = [ − 1,1] genau n einfache Nullstellen. Zwischen zwei benachbarten Nullstellen von P_n(x) liegt genau eine Nullstelle von P_{n + 1}(x).

Allgemeine Eigenschaften

Für jedes $n \in \N$ und jedes $x \in [-1,1]$ gilt:

$\begin{align} P_n(1) &= 1\\[.3em] P_n(-x) &= (-1)^n \, P_n(x)\\[.3em] P_{2\,n+1}(0) &= 0 \end{align}$

Erzeugende Funktion

Für alle $x \in \mathbb{R}$, $z \in \mathbb{C}$, | z | < 1 gilt

$(1 - 2xz + z^2)^{-1/2} = \sum_{n=0}^\infty P_n(x) z^n\ .$

Dabei hat die Potenzreihe auf der rechten Seite für $-1 \le x \le +1$ den Konvergenzradius 1.

Die Funktion $z \mapsto (1 - 2xz + z^2)^{-1/2}$ wird daher als erzeugende Funktion der Legendre-Polynome P_n bezeichnet.

Der in der Physik oft auftretende Term $1/|\vec{x}-\vec{x}\,'|$ (z. B. in den Potentialen der newtonschen Gravitation oder der Elektrostatik) lässt sich damit in eine Potenzreihe entwickeln für $\tfrac{|\vec{x}\,'|}{|\vec{x}|}=\tfrac{r\,'}{r}<1$:

$\begin{align} \frac{1}{|\vec{x}-\vec{x}\,'|} &=\frac{1}{\sqrt{\vec{x\,}^{2}-2\vec{x}\cdot\vec{x}\,'+\vec{x}\,'^{2}}} =\frac{1}{\sqrt{r^{2}-2rr\,'\cos\alpha+r\,'^{2}}} =\frac{1}{r\sqrt{1-2\frac{r'}{r}\cos\alpha+(\frac{r'}{r})^{2}}} \\&=\frac{1}{r}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{r\,'}{r}\right)^{n}P_{n}(\cos\alpha) \end{align}$

Legendre-Funktionen 2. Art

Die Rekursionsformeln der Legendre-Polynome gelten auch für die Legendre-Funktionen 2. Art, so dass diese sich iterativ mit der Angabe der ersten bestimmen lassen:

$Q_0(x) = \frac{1}{2}\,\ln\left( \frac{1+x}{1-x} \right)={\rm artanh}(x)$

$Q_1(x) = \frac{x}{2}\,\ln\left( \frac{1+x}{1-x} \right) - 1 =x \, {\rm artanh}(x) - 1$

$Q_2(x) = \frac{3\,x^2 - 1}{4} \, \ln\left( \frac{1+x}{1-x} \right) - \frac{3\,x}{2}$

$Q_3(x) = \frac{5\,x^3 - 3\,x}{4} \, \ln\left( \frac{1+x}{1-x} \right) - \frac{5\,x^2}{2} + \frac{2}{3}$

Hierbei ist für den Logarithmus der Hauptzweig zu verwenden wodurch sich Singularitäten bei $x=\pm 1$ und in der komplexe Ebene Verzweigungsschnitte entlang $(-\infty,-1)$ und $(1,\infty)$ ergeben.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Legendre Polynomial. In: MathWorld. (englisch)
• J. B. Calvert: Legendre Polynomials (englisch)