Lemma von Jordan

Das Lemma von Jordan (nach Marie Ennemond Camille Jordan) ist ein Hilfsmittel der Funktionentheorie. Es wird zusammen mit dem Residuensatz verwendet, um Integrale aus der reellen Analysis zu berechnen.

Aussage

Ist α > 0 und konvergiert in der oberen Halbebene g gleichmäßig gegen Null für alle $|z|\to\infty$, dann gilt

$\int_{K_R} g(z)\, e^{i\alpha z} dz\to 0$

für $R\to\infty$.

Dies gilt auch, wenn α = 0 ist und zusätzlich $z\cdot g(z)$ in der oberen Halbebene gleichmäßig gegen Null strebt. Völlig analog lässt sich das Lemma für die untere Halbebene formulieren.

Anwendung

Integrationsweg γ_R als halbkreisförmige Kurve K_R, die durch das reelle Intervall [-R,R] geschlossen wird

Viele uneigentliche Integrale der Form $\textstyle \int_{-\infty}^\infty f(z) \, dz$ lassen sich in der folgenden Weise berechnen: Man integriert f auf einer geschlossenen halbkreisförmigen Kurve γ_R, die entsteht, wenn zuerst auf der reellen Achse von − R nach R und von dort im Halbkreisbogen K_R zurück nach − R integriert.

Man stellt fest, dass für $R\to\infty$ das Integral $\textstyle \int_{K_R} f\, dz$ verschwindet und somit

$\oint_{\gamma_R} f dz=\int_{[-R,R]} f\, dz+\int_{K_R} f\, dz \xrightarrow[R\to\infty]\ \int_\Bbb{R} f \, dz$ gilt.

Nach dem Residuensatz ist dann

$\int_\Bbb{R} f \, dz=\lim_{R\to\infty}\oint_{\gamma_R} f dz=2\pi i\sum_{\mathrm{Im} z>0} \mathrm{Res} f|_z$.

Um dabei immer wiederkehrende Abschätzungen für Integrale der Form $\textstyle \int_{K_R} g(z)\, e^{i\alpha z} dz$ zu vermeiden, benutzt man das Lemma von Jordan.

Beispiele

1. Beispiel

Es sei $g(z)=\tfrac{1}{1+z^2}$ und $f(z)=g(z)\, e^{i\alpha z}$. Hier ist das Jordan-Lemma anwendbar und es gilt

$\lim_{R\to\infty} \int_{\gamma_R} f(z)\, dz=0.$

Also gilt für das Integral über die reelle Achse

$\int_{\Bbb{R}} f(z)\, dz=2\pi i\, \mathrm{Res} f|_i=\pi\, e^{-\alpha}$.

Spaltet man e^iαz mit Hilfe der Eulerschen Identität in Real- und Imaginärteil auf, so erhält man die Gleichheit

$\int_{-\infty}^\infty \frac{\cos(\alpha x)}{1+x^2}\, dx=\pi\, e^{-\alpha}$.

2. Beispiel

Es sei $g(z)=\tfrac{z}{1+z^2}$. Analog zum 1. Beispiel ist $\textstyle \int_{\Bbb{R}} f(z)\, dz=2\pi i\, \mathrm{Res} f|_i=i\pi\, e^{-\alpha}$ und somit

$\int_{-\infty}^\infty \frac{x\sin(\alpha x)}{1+x^2}\, dx=\pi\, e^{-\alpha}$.

Beweis des Lemmas von Jordan

Das Integral $\textstyle I_R:=\int_{K_R} g(z)\, e^{i\alpha z}\, dz$ lässt sich nach Substitution $z=R\, e^{i\varphi}$ schreiben als $\textstyle \int_0^\pi g\left(R e^{i\varphi}\right)\, e^{i\alpha R e^{i\varphi}} \, R\, e^{i\varphi}\, i \, d\varphi$. Abschätzung des Betrages nach oben ergibt

$|I_R|\le R \,\varepsilon_R \int_0^\pi e^{-\alpha R \sin \varphi}\, d\varphi$

mit $\textstyle \varepsilon_R:=\max_{z\in K_R} |g(z)|$. Daraus folgt

$|I_R|\le 2R \,\varepsilon_R \int_0^\frac{\pi}{2} e^{-\alpha R \sin \varphi}\, d\varphi$,

da der Integrand e ^{− αRsin φ} bezüglich $\varphi=\tfrac{\pi}{2}$ achsensymmetrisch ist.Nach der Jordanschen Ungleichung ist $\sin(\varphi)\ge \tfrac{2}{\pi}\, \varphi$ für alle $\varphi\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right]$ und daher

$|I_R|\le 2R \, \varepsilon_R \int_0^\frac{\pi}{2} e^{-\alpha R \frac{2}{\pi} \varphi}\, d\varphi =\frac{\pi\, \varepsilon_R}{\alpha} \left(1-e^{-\alpha R}\right)\le \frac{\pi\, \varepsilon_R}{\alpha}\to 0$ für $R\to\infty$.

Literatur

• E. D. Solomentsev: Jordan Lemma. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8.