Lennard-Jones-Potential

Das Lennard-Jones-Potential (nach John Lennard-Jones) wird in der physikalischen Chemie und in der Atom- und Molekülphysik verwendet. Es nähert die Wechselwirkung zwischen ungeladenen, nicht chemisch aneinander gebundenen Atomen an.

Das Lennard-Jones-(12,6)-Potential

Beschreibung

Für große Entfernungen zwischen zwei Teilchen überwiegen die anziehenden Kräfte. Es handelt sich bei den anziehenden Kräften vor allem um van-der-Waals-Kräfte, aber auch um permanente Dipol-Dipol-Wechselwirkungen. Nähert man die jeweiligen Teilchen an, so überwiegt ab einem bestimmten Abstand σ (s. Abbildung) zwischen ihnen der repulsive Anteil und die potentielle Energie steigt schnell an. Die repulsiven Kräfte kommen durch Pauli-Repulsion zustande, sind also dadurch bedingt, dass sich Elektronen mit gleichem Spin abstoßen (unter der Bedingung, dass auch alle anderen Quantenzahlen gleich sind), wenn die Orbitale übereinander geschoben werden.

Der anziehende Anteil des Lennard-Jones-Potentials wird aus der London-Formel (nach Fritz London) abgeleitet, sie lautet

$V = - \frac {C} {r^6}$,

wobei V das Potential, r der Abstand zwischen den Teilchen und C ein relativ komplizierter Term ist. Dieser enthält stoffspezifische Konstanten wie die Ionisierungsenergie für beide betrachteten Teilchen. Die Gleichung ist jedoch nur eine Näherung.

Der repulsive Anteil wird ebenfalls durch eine ähnliche Gleichung beschrieben:

$V = \frac {C_n} {r^n}$

Hierbei ist n eine hohe Potenz und im Lennard-Jones-(n,6)-Potential werden die beiden oben genannten Formeln zusammengefasst zu

$V = \frac {C_n} {r^n} - \frac {C} {r^6}$

Für n wird aus praktischen Gründen oft 12 ausgewählt, weil dann bei der Berechnung der Wert 1 / r⁶ nur quadriert werden muss. Es entsteht das Lennard-Jones-(12,6)-Potential, das typischerweise in einer der beiden folgenden Formen geschrieben wird:

$V = 4 \varepsilon \left\{ \left( \frac {\sigma} {r} \right)^{12} - \left( \frac {\sigma} {r} \right)^6 \right\} = \varepsilon \left\{\left( \frac {r_m} {r} \right)^{12} - 2 \left( \frac {r_m} {r} \right)^6 \right\}$

Hierbei ist $\epsilon$ die „Tiefe“ der Potentialmulde, die durch die beiden Einflüsse entsteht. Der Abstand σ in der ersten Form ist der Abstand, an dem das Lennard-Jones-Potential eine Nullstelle besitzt, also V = 0 gilt. Der Abstand r_m in der zweiten Form ist der Abstand des Energieminimums vom Ursprung. Es gilt dabei r_m = 2^{1 / 6}σ. Für große Abstände (also wenn r gegen unendlich geht), nähert sich das Potential von unten der Nulllinie an.

Die Formel für das Lennard-Jones-(12,6)-Potential ist jedoch ungenauer als das Lennard-Jones-(exp,6)-Potential, bei welchem der repulsive Term exponentiell ist:

$V = \gamma \left\{ e^{-r/r_0} - \left( \frac {r_0} {r} \right)^6 \right\}$

Sonstiges

Das Lennard-Jones-Potential ist ein Spezialfall des Mie-Potentials

$V = \frac {C_n} {r^n} - \frac {C_m} {r^m}$

das bereits 1903 von Gustav Mie eingeführt wurde^[1].

Einzelnachweise

1. ↑ [1] Mie-Potential