Lindblad-Resonanzen

Lindblad-Resonanzen sind ein Resonanzphänomen aus der Galaxientheorie.

Sie wurden von dem schwedischen Astronomen Bertil Lindblad entdeckt und sind nach ihm benannt. Die Dichtewellentheorie für Galaxien besagt: Die Spiralarme einer rotierenden Galaxie werden dadurch stabilisiert, dass im Gravitationsfeld der Galaxie mit konstanter Winkelgeschwindigkeit eine Welle umläuft. Die in dieser Theorie auftauchenden Resonanzen sollen nachfolgend erklärt werden.

Diese Resonanzen treten in der galaktischen Ebene auf, wenn die Bahnen der Sterne von einem winkelabhängigen Potential „gestört“ werden. Eine derartige winkelabhängige Störung kann etwa ein Spiralarm oder ein galaktischer Balken sein. Diese Störung rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit $\Omega_\mathrm{St\ddot orung}$, die im Allgemeinen nicht mit der Winkelgeschwindigkeit des restlichen Systems übereinstimmt.

Es kommt zur Resonanz, wenn die Differenz zwischen der (Bahnradius-abhängigen) Winkelgeschwindigkeit der Sterne, Ω_Stern(R), und der Winkelgeschwindigkeit der Störung, $\Omega_\mathrm{St\ddot orung}$, ein ganzzahliges Vielfaches der epizyklischen Frequenz κ ist:

$m\left[ \Omega_\text{Stern}(R) - \Omega_\mathrm{St\ddot orung}\right] = \pm\kappa \qquad\text{mit}\qquad m\in\mathbb{N}$

Die Radien, bei denen dieser Fall eintritt, heißen Lindblad-Resonanzen.

Ferner gibt es die sogenannte ko-rotierende Resonanz, die bei dem Radius auftritt, wo die Winkelgeschwindigkeit der Kreisbahnen der Sterne und die Winkelgeschwindigkeit der Störung identisch sind, $\Omega_\text{Stern}(R) = \Omega_\mathrm{St\ddot orung}$.

Resonanzen

Wenn man davon ausgeht, daß die Dichteverteilung in einem System nicht stationär ist, so kann man deren Zeitentwicklung betrachten, indem man die Eulergleichung

$\frac{\partial\Sigma\vec{u}}{\partial t} + \nabla \cdot \left(\Sigma\vec{u} \cdot \vec{u}\right) = -\nabla c_s - \Sigma \nabla \Phi$

mit einer Störung versieht. Dies bedeutet, daß für alle Variablen Σ, Φ, P und $\vec{u}$ ein orts- und zeitabhängiger Störungsansatz gemacht wird. So wird z.B. die Dichte gemäß

$\Sigma(r,\phi,t) = \Sigma_0(r) + \tilde{\Sigma}(r,\phi,t)$

gestört.

Eliminiert man dann in den aus dem Störungsansatz folgenden Gleichungen die ungestörten Anteile, so erhält man eine Poisson-Gleichung und drei Störungsgleichungen. Dieses Gleichungssystem wird durch einen Ansatz z.B. für die Dichte der Form

$\tilde{\Sigma}(r,\phi,t) = \tilde{\Sigma}^*(r)\exp\left(i[m\omega_p t - m\phi + \Phi(r)]\right)$

gelöst. Dieser Ansatz entspricht spiralförmigen Dichtewellen, mit m Armen, die mit der Frequenz ω_p starr rotieren. In Ruhe folgt daraus für die Dichtemaxima das Muster

mω_pt₀ − mφ + Φ(r) = 0

was für $m\ne 0$ eine Spirale ist

$\phi = \phi(r) = \frac{1}{m}\Phi(r)$

Findet man nun auch für die anderen Störungsgleichungen selbstkonsistente Lösungen, so erhält man ein algebraisches Gleichungssystem, das im weiteren dann auf eine Dispersionsrelation führt, die die Bedingung für eine spiralförmige Dichtewelle ausdrückt. Daraus wiederum folgt dann die Dispersionsgleichung

$1-\frac{m^2(\omega_p - \Omega)^2}{\kappa^2}+\frac{k^2 c_s^2}{\kappa^2} = \frac{2\pi G \Sigma_0|k|}{\kappa^2}$

in der Ω für die Keplergeschwindigkeit steht, $k = \frac{d\Phi}{dr}$ die radiale Wellenzahl ist und κ die Epizykelfrequenz, die definiert ist als

$\kappa^2 = 4\omega^2 \left(1+\frac{1}{2}\frac{r}{\omega}\frac{d\omega}{dr}\right)$

In der o.a. Dispersionsgleichung ist ω_p ein freier Parameter. Führt man nun eine Variable

$\nu = \frac{m(\omega_p-\Omega)}{\kappa^2}$

ein, so erhält man aus

$\nu^2 = 1 + \frac{k^2 c_s^2}{\kappa}$

zwei Resonanzen. Formt man die Dispersionsgleichung um zu

$m^2(\omega_p - \Omega)^2 = \kappa^2 + k^2 c_s^2 - 2\pi G\Sigma_0|k|$

so erkennt man, die Resonanzen als

$m(\omega_p - \omega) \rightarrow \pm \sqrt{1+\frac{k^2 c_s^2}{\kappa^2}} \approx \kappa$ für $\frac{k^2 c_s^2}{\kappa^2}\ll 1$

Diese Resonanzen heißen innere (-) und äußere (+) Lindblad-Resonanzen. Für ein gegebenes Modell lassen sich entsprechende Radien berechnen.

Quellen

Diplomarbeit „Superhumps hinter Gittern - was Euler zu Superhumps sagt“ mit Referenzen.