- Lindeberg-Bedingung
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Die Lindeberg-Bedingung ist ein Begriff aus der Stochastik. Erfüllt eine Folge von stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen diese Bedingung, so gilt für sie der Zentrale Grenzwertsatz, auch wenn die Zufallsvariablen nicht zwingenderweise identisch verteilt sind.
Die Lindeberg-Bedingung wurde nach dem finnischen Mathematiker Jarl Waldemar Lindeberg benannt. Eine weitere hinreichende Bedingung für den zentralen Grenzwertsatz ist die Ljapunow-Bedingung.
Inhaltsverzeichnis
Formulierung
Seien
unabhängige, quadratisch integrierbare Zufallsvariablen mit
0" border="0"> für alle
und seien
.
Gilt dann die Lindeberg-Bedingung
0:\quad \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \mbox{E}\left(\frac{(X_i - \mu_i)^2}{s_n^2} \cdot 1_{\left\{| X_i - \mu_i| > \varepsilon s_n\right\}}\right) = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{s_n^2}\sum_{i=1}^n \int_{\left\{| x - \mu_i| > \varepsilon s_n\right\}} (x-\mu_i)^2 P_{X_i}(dx) = 0" border="0"> ,
so genügt die Folge (Xi)i dem zentralen Grenzwertsatz, d.h. die Größe
konvergiert in Verteilung für
gegen eine standardnormalverteilte Zufallsgröße
, sprich
,
wobei hier Φ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung beschreibt.
Umkehrung
Die Umkehrung des obigen Sachverhaltes gilt i.A. nicht. Hierfür ist eine zusätzliche Forderung an die Folge
notwendig:
Die unabhängige Folge (Xi)i quadratisch integrierbarer, reeller Zufallsvariablen mit
0\ \forall i" border="0"> genüge dem zentralen Grenzwertsatz und erfülle weiter die Fellersche Bedingung
.
Dann erfüllt die Folge (Xi)i auch die Lindeberg-Bedingung.
Literatur
- Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. De Gruyter, Berlin/New York 2002, ISBN 3110172364, S. 239.
- J. W. Lindeberg: Eine neue Herleitung des Exponentialgesetzes in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. In: Mathematische Zeitschrift, Band 15, 1922, S. 211-225.
Weblink
- Eric W. Weisstein: Lindeberg Condition. auf MathWorld.
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