Ljapunow-Bedingung

Die Ljapunow-Bedingung ist neben der Lindeberg-Bedingung eine der beiden typischen Voraussetzungen an eine Folge von Zufallsvariablen, um in der Stochastik einen klassischen zentralen Grenzwertsatz zu beweisen. Sie geht auf den russischen Mathematiker Alexander Michailowitsch Ljapunow zurück.

Formulierung

Seien $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ eine Folge von stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen mit $\;a_n:=E[X_n]$ und $\;0<Var(X_n)<\infty$ für alle $n\in\mathbb{N}$. Zudem bezeichne $\;s_n^2=\sum_{i=1}^n\sigma_i^2$ die Summe der Varianzen der $(X_n)_n\;$.

Die Folge der Zufallsvariablen genügt der Ljapunow-Bedingung nun genau dann, wenn

$\exists \delta>0:\;\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{s_n^{2+\delta}}\sum_{j=1}^n E\left[|X_j-a_j|^{2+\delta}\right]=0$.

Aus der Ljapunow-Bedingung folgt die Lindeberg-Bedingung, und es lässt sich die Gültigkeit des zentralen Grenzwertsatzes für $(X_N)_{n\in\mathbb{N}}$ zeigen.

Literatur

• Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. De Gruyter, Berlin 2002, ISBN 3-11-017236-4.