Madelung-Gleichungen

Die Madelunggleichungen sind eine von Erwin Madelung (1881-1972) formulierte Alternative der Schrödingergleichung.

Ersetzt man dort die komplexe Funktion ψ durch ihren Betrag ρ und ihre Phase S, gemäß $\psi= \sqrt{\rho} e^{\frac{i}{\hbar} S}$ erhält man die Madelunggleichungen:

$\partial_t \rho +\frac{1}{m}\nabla(\rho\nabla S)= 0$

$\partial_t S +\frac{1}{2m}(\nabla S)^2 +V(x)- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\Delta \sqrt{\rho}}{\sqrt{\rho}}= 0$

Die erste hat die Form einer Kontinuitätsgleichung,

die zweite ist eine Hamilton-Jacobi-Gleichung (siehe Kanonische Gleichungen).

S interpretiert man als Wirkung, $\nabla S$ als Impuls.

Aufgrund ihrer Nichtlinearität sind die Madelunggleichungen allerdings schwierig zu handhaben, zeigen aber andersherum, dass es nichtlineare Gleichungen gibt, die sich auf lineare Gleichungen zurückführen lassen.