- Majorana-Darstellung
-
Die Dirac-Matrizen (auch Gamma-Matrizen genannt) sind vier Matrizen, die der Dirac-Algebra genügen. Sie treten in der Dirac-Gleichung auf.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Die Dirac-Matrizen und erfüllen definitionsgemäß die Dirac-Algebra, das heißt, die algebraischen Bedingungen
Diese Bedingungen betreffen Antikommutatoren, also die Summe der Produkte zweier Matrizen in beiden Reihenfolgen,
In Indexnotation, in der m und n für Zahlen aus {0,1,2,3} stehen, schreiben sich die Bedingungen an die Dirac-Matrizen zusammenfassend als
Dabei sind ηmn die Komponenten der Minkowski-Metrik
Eigenschaften
Die Gamma-Matrizen erzeugen eine Clifford-Algebra. Jede irreduzible Darstellung dieser Algebra durch Matrizen besteht aus -Matrizen. Die Elemente des Vektorraumes, auf den sie wirken, heißen Spinoren. Verschiedene Darstellungen der Dirac-Algebra sind einander äquivalent, das heißt, sie unterscheiden sich nur durch die gewählte Basis. Insbesondere sind die negativen transponierten Matrizen und die hermitesch adjungierten Matrizen den Matrizen äquivalent, denn sie erfüllen ebenfalls die Dirac-Algebra. Es gibt daher eine Matrix A und eine Matrix C, so dass
Die Matrix A ist zur Konstruktion von Skalaren, Vektoren und Tensoren aus Spinoren wichtig, die Matrix C tritt bei der Ladungskonjugation auf.
Jedes Produkt mehrerer Dirac-Matrizen lässt sich bis auf ein Vorzeichen als Produkt verschiedener Dirac-Matrizen in lexographischer Ordnung schreiben, denn das Produkt zweier verschiedener Gamma-Matrizen kann auf Kosten eines Vorzeichens umgeordnet werden. Zudem ist das Quadrat jeder Gamma-Matrix 1 oder -1. Die Produkte verschiedener Gamma-Matrizen bilden zusammen mit der Eins-Matrix und den negativen Matrizen eine Gruppe mit den 32 Elementen,
Da jede Darstellung einer endlichen Gruppe bei geeigneter Basiswahl unitär ist, ist auch jede Darstellung der Gamma-Matrizen bei geeigneter Wahl der Basis unitär. Zusammen mit der Dirac-Algebra heißt dies, dass γ0 hermitesch und die drei anderen γ-Matrizen antihermitesch sind,
In unitären Darstellungen bewirkt A = γ0 die Äquivalenztransformation zu den adjungierten Matrizen
Die Matrix
ist ihr eigenes Inverses, ist hermitesch, antivertauscht mit den Gamma-Matrizen, γ5γm = − γmγ5, und demnach mit jedem Produkt von Gamma-Matrizen mit einer ungeraden Anzahl von Faktoren.
Daher verschwindet die Spur jedes Produktes von Gamma-Matrizen mit einer ungeraden Anzahl von Faktoren.
Im vorletzten Schritt haben wir dabei verwendet, dass die Spur eines Produktes sich bei zyklischer Vertauschung der Faktoren nicht ändert und demnach gilt.
Für die Spur eines Produktes von zwei Gamma-Matrizen gilt (weil die Spur zyklisch ist)
Die Spur von vier Gamma-Matrizen reduziert man mit der Dirac-Algebra auf die Spur von zwei.
Falls also verschiedene Dirac-Matrizen in einem Produkt nicht paarweise auftauchen, verschwindet die Spur des Produktes. Daraus folgt unter anderem, dass die sechzehn Matrizen, die man als Produkt von Null bis vier verschiedenen Gamma-Matrizen erhält, linear unabhängig sind.
Zusammenhang zu Lorentztransformationen
Die sechs Matrizen
bilden die Basis einer Lie-Algebra, die der Lie-Algebra der Lorentztransformationen isomorph ist. Sie erzeugen die zu Lorentztransformationen (die stetig mit der 1 zusammenhängen) gehörigen Transformationen der Spinoren ψ.
Aus (γ5)2 = 1 und folgt, dass die Matrizen
Projektoren sind,
die auf zueinander komplementäre, zweidimensionale Unterräume projizieren,
Weil γ5 mit den Erzeugenden von Spinortransformationen vertauscht,
sind die Unterräume, auf die PL und PR projizieren, invariant unter den von Σmn erzeugten Lorentztransformationen, mit anderen Worten: Die links- und rechtshändigen Anteile, ψL = PLψ und ψR = PRψ, eines Spinors ψ transformieren getrennt voneinander.
Die Spinortransformation führt bei Größen, die man aus , Gamma-Matrizen und einem eventuell von ψ verschiedenen Spinor χ zusammensetzt, zu einem Transformationsgesetz, das am Indexbild ablesbar ist. Es transformieren
- wie ein Skalar,
- wie die Komponenten eines Vierervektors,
- wie die Komponenten eines antisymmetrischen Tensors,
- wie die Komponenten eines axialen Vierervektors,
- wie ein Pseudoskalar.
Dirac-Darstellung
In einer geeigneten Basis haben die Gamma-Matrizen die auf Dirac zurückgehende Form (wir schreiben verschwindende Matrixelemente nicht aus)
Diese Matrizen lassen sich kompakter mit Hilfe der Pauli-Matrizen schreiben (jeder Eintrag steht hier für eine -Matrix):
Weyl-Darstellung
Die nach Hermann Weyl benannte Weyl-Darstellung heißt auch chirale Darstellung. In ihr ist γ5 diagonal,
Im Vergleich zur Dirac-Darstellung ist einfach γ0 durch γ5 und γ5 durch − γ0 ausgetauscht:
Die Weyldarstellung ergibt sich durch einen unitären Basiswechsel aus der Dirac-Darstellung,
Spinortransformationen transformieren in der Weyl-Basis die ersten beiden und die letzten beiden Komponenten des Dirac-Spinors getrennt.
Die chirale Darstellung ist von besonderer Bedeutung in der Weyl-Gleichung, der masselosen Dirac-Gleichung.
Majorana-Darstellung
In der Majorana-Darstellung sind alle Gamma-Matrizen imaginär. Dann ist die Dirac-Gleichung ein reelles Differentialgleichungssystem,
Dirac-Algebra in höheren Dimensionen
- Ferdinando Gliozzi, Joel Sherk and David Olive, Supersymmetry, Supergravity Theories and the Dual Spinor Model, Nucl. Phys. B122, 253-290, 1977
Bücher
- James Bjorken und Sidney Drell: Relativistische Quantenmechanik, BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim, 1990, (BI-Hochschultaschenbuch Band 98), ISBN 3-411-00098-8
- Michael Peskin and Daniel V. Schroeder: An Introduction to Quantum Field Theory, Addison-Wesley Publishing Co., New York, 1995, ISBN 0-201-50397-2
- J. M. Jauch and F. Rohrlich: The theory of photons and electrons, Addison-Wesley Publishing Co., New York, 1955
Wikimedia Foundation.