Mantelfläche

Als Mantelfläche (auch: Hüllfläche) bezeichnet man die Oberfläche eines Volumens, das durch Rotation eines Graphen einer Funktion um eine Koordinatenachse entsteht (Nicht-Rotationskörper wie Pyramide, Prisma etc. werden gesondert betrachtet → siehe dort). "Boden" (Grundfläche) und "Deckel" (Deckfläche) werden, falls vorhanden, in der Regel nicht zur Mantelfläche gezählt.

In der Mathematik kann die Mantelfläche eines Körpers unter anderem mit Hilfe geometrischer Formeln oder der Integralrechnung bestimmt werden.

Mantelfläche des Kreiszylinders

Gerader Kreiszylinder mit abgerollter Mantelfläche

Die punktierte Fläche im nebenstehenden Bild entspricht der Mantelfläche des gezeigten Kreiszylinders. Dieser könnte etwa durch Rotation einer konstanten Funktion um eine Koordinatenachse entstehen.

Interessant ist, dass ein Zylinder, der gerade eine Kugel in sich aufnehmen kann (Zylinderradius = Kugelradius r und Zylinderhöhe h = 2r), die gleiche Manteloberfläche wie diese Kugel aufweist.

Mantelfläche des Kegelstumpfs

Kegelstumpf und seine abgewickelte Mantelfäche

Die punktierte Fläche im nebenstehenden Bild entspricht der Mantelfläche des gezeigten Kegelstumpfs, betrachtet in der Draufsicht. Dieser könnte etwa durch Rotation einer Geraden um eine Koordinatenachse entstehen.

Herleitung

Es sei $M_\mathrm{G}\$ die Mantelfäche vom ganzen Kegel, $M_\mathrm{H}\$ die Mantelfläche vom kleinen Kegel und $M_\mathrm{KS}\$ die Mantelfäche vom Kegelstumpf, dann errechnet sich die Mantelfäche $M_\mathrm{KS}\$ des Kegelstumpfes durch $M_\mathrm{KS}=M_\mathrm{G}-M_\mathrm{H}\$

Nun bezeichnet man zusätzlich zu den in der Skizze bereits festgelegten Variablen die Verlängerung der Höhe $h\$ zur Spitze $s\$ mit $x\$ und die Verlängerung der Seitenlänge $m\$ zur Spitze des Kegels mit $s_\mathrm{x}\$.

Mit Hilfe dieser Notation verifiziere man anschließend

$(1)~~M_\mathrm{KS}=M_\mathrm{G}-M_\mathrm{H}=\pi r_\mathrm{1}(m+s_\mathrm{x})-\pi r_\mathrm{2}s_\mathrm{x}$

(Hinweis zu den Formeln für $M_\mathrm{G}\$ und $M_\mathrm{H}\$: Für die Fläche eines Kreissegments gilt $A=\pi r^2{\alpha \over 360^\circ}\$ und für den Segmentbogen $b=2\pi r{\alpha \over 360^\circ}=\pi r{\alpha \over 180^\circ}\$ woraus $A={1 \over 2}br\$ folgt. Angepasst an die gegebenen Variablen des Kegels ergeben sich die Formeln für $M_\mathrm{G}\$ und $M_\mathrm{H}\$ (siehe Zeichnung Kegelstumpf rechts, abgewickelte Mantelfläche).)

Mit Hilfe der Strahlensätze leitet man folgenden Zusammenhang innerhalb des Kegels für $s_\mathrm{x}\$ her: ${(m+s_\mathrm{x}) \over s_\mathrm{x}}={r_\mathrm{1} \over r_\mathrm{2}}\Leftrightarrow r_\mathrm{2}(m+s_\mathrm{x})=r_\mathrm{1}s_\mathrm{x}\Rightarrow s_\mathrm{x}={r_\mathrm{2}m \over r_\mathrm{1}-r_\mathrm{2}}\$.

Durch Einsetzen von $s_\mathrm{x}\$ in $(1)\$ erhält man schließlich

$\begin{matrix}M_\mathrm{KS}&=& \pi (r_\mathrm{1}m+r_\mathrm{1}({r_\mathrm{2}m \over r_\mathrm{1}-r_\mathrm{2}})-r_\mathrm{2}({r_\mathrm{2}m \over r_\mathrm{1}-r_\mathrm{2}})) \\ &=& \pi (r_\mathrm{1}m+{r_\mathrm{1}r_\mathrm{2}m \over r_\mathrm{1}-r_\mathrm{2}}-{{r_\mathrm{2}}^2m \over r_\mathrm{1}-r_\mathrm{2}}) \\ &=& \pi m(r_\mathrm{1}+{r_\mathrm{2}(r_\mathrm{1}-r_\mathrm{2}) \over r_\mathrm{1}-r_\mathrm{2}}) \\ &=& \pi (r_\mathrm{1}+r_\mathrm{2})m \end{matrix}\$

Flächenberechnung mit guldinscher Regel

Mithilfe der ersten guldinschen Regel $M = L \cdot 2 \pi R$ lässt sich die Fläche ebenfalls leicht ausrechnen:

L ist die Länge der erzeugenden Linie m (Mantellinie) und R ist die Position ihres Schwerpunkts $\frac{r_\mathrm{1}+r_\mathrm{2}}{2}.$

Einsetzen ergibt die Mantelfläche des Kegelstumpfes $M = \pi \cdot m \cdot (r_\mathrm{1}+r_\mathrm{2}).$

Berechnung der Mantelfläche eines Rotationskörpers

Eine Funktion $f(x)\ge 0$ im Intervall [a,b] (Mantellinie) rotiere um die x-Achse. Nun sei die Mantelfläche dieser Funktion im Bereich von x₁ = a bis x₂ = b gesucht.

Rotation um die x-Achse

$M = 2 \pi \cdot \int_a^b f(x) \sqrt{1+f'(x)^2} \mathrm{d}x$

Erklärung:

Man stellt sich den Rotationskörper vor als zusammengesetzt aus auf der x-Achse aufgereihten Scheiben, die jede einen Kegelstumpf der Seitenlänge ΔL und den Radien r₁und r₂ darstellen. Die Summe über die Mantelflächen der Kegelstümpfe (s.o.) bildet dann die gesamte Mantelfläche

$M =\sum_i \pi \cdot \Delta L_i \cdot (r_{1i}+r_{2i}).$

Das Linienelement ΔL_i der rotierenden Funktion f(x) ist über den Satz des Pythagoras gegeben als

$\Delta L_i = \sqrt{(\Delta x_i)^2+(\Delta y_i)^2} = \sqrt{1+\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta x_i}\right)^2}\Delta x_i.$

Beim Grenzübergang zum Integral (immer mehr und gleichzeitig entsprechend dünnere Kegelstumpfscheiben) werden r_1i = r_2i = f(x_i) und man kann schreiben

$M =\pi\sum_i 2\cdot f(x_i)\cdot\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta x_i}\right)^2}\Delta x_i \rightarrow 2 \pi \cdot \int_a^b f(x) \sqrt{1+f'(x)^2} \mathrm{d}x.$

Rotation um die y-Achse

Hier gilt demnach:

$M = 2 \pi \cdot \int_{\min(f(a),f(b))}^{\max(f(a),f(b))} x \sqrt{1+(x')^2} dy$

mit x = f ^{− 1}(y), d.h. nach x aufgelöst und x'=dx/dy.

Siehe auch

• Kegelstumpf
• Kegel
• Prisma
• Rotationskörper