Methode der Charakteristiken

Die Methode der Charakteristiken ist eine Methode zur Lösung quasilinearer partieller Differentialgleichungen erster Ordnung, also Gleichungen vom Typ

$P(t,x,u) \frac{\partial u}{\partial t} + Q(t,x,u) \frac{\partial u}{\partial x} = R(t,x,u),$

bei denen die Ableitungen nur linear auftreten. Die grundlegende Idee besteht dabei in der Reduktion des Problems auf die Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen.

Idee

Um die partielle Differentialgleichung in ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen zu überführen, werden die Koordinaten t und x über zwei neue Koordinaten t = t(τ,ξ) und x = x(τ,ξ) parametrisiert. Zunächst wird die gesuchte Funktion u(t,x) = u(t(τ,ξ),x(τ,ξ)) nach τ abgeleitet (Anwendung der Kettenregel!)

$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\tau} = \frac{\partial u}{\partial t} \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau} + \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\tau}.$

Ein anschließender Koeffizientenvergleich mit der Ausgangsgleichung liefert ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen:

$t_\tau = P(t,x,u), \quad x_\tau = Q(t,x,u), \quad u_\tau = R(t,x,u).$

Diese drei Gleichungen liefern zum einen die Lösung der partiellen Differentialgleichung in den neuen Koordinaten und zum anderen die Transformationsvorschrift - die sogenannten Charakteristiken oder charakteristischen Linien - $(t,x) \leftrightarrow (\tau,\xi)$. Damit kann die gefundene Lösung in die alten Koordinaten zurücktransformiert werden.

Beispiel

Gegeben sei eine einfache Transportgleichung mit Anfangsbedingung:

$u_t + c \cdot u_x = 0, \quad u(t=0,x)=f(x)$

mit $t\in\left[0,\infty\right), x\in\mathbb{R}$ und der Konstanten $c\in\mathbb{R}$. Ableitung von u nach τ und Koeffizientenvergleich liefert ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen:

$\begin{array}{ll} t_\tau = 1, & t(\tau=0)=0 \\ x_\tau = c, & x(\tau=0)=\xi \\ u_\tau = 0, & u(\tau=0)=f(\xi) \end{array}.$

Da die Gleichungen hier komplett voneinander entkoppelt sind, ist die Lösung sehr einfach:

$t=\tau, \quad x=c\tau+\xi, \quad u=f(\xi).$

Hieraus folgt sofort ξ = x − ct und damit die Lösung der Transportgleichung in den alten Koordinaten u(t,x) = f(x − ct).

Weblinks

• Einige Beispiele PDF-Datei, 1.01 MB