Burgersgleichung

Die Burgersgleichung ist eine einfache nichtlineare partielle Differentialgleichung, die in verschiedenen Gebieten der angewandten Mathematik auftritt. Die Gleichung ist nach dem niederländischen Physiker Johannes Martinus Burgers benannt.

Die Gleichung ist eine nichtlineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung für eine Funktion von zwei Variablen.

In allgemeiner Form sieht die Gleichung folgendermaßen aus (auch viskose Burgersgleichung genannt):

$\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = \mu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.$

Dies ist offensichtlich äquivalent zu

$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial }{\partial x}(u^2) = \mu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.$

Der Parameter μ > 0 kann hier als Viskositätsparameter interpretiert werden.

Oft wird auch die obige Gleichung für den Fall μ = 0, als Burgersgleichung bezeichnet, manche Autoren nennen diesen Spezialfall die unviskose Burgersgleichung (engl: inviscid Burgers' equation):

$\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = 0$

bzw.

$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial x}(u^2) = 0$.

Formal sind beide Darstellungen zwar äquivalent, die zweite Form ist allerdings für numerische Berechnungen vorteilhafter. Der Grund hierfür ist die "Erhaltungsform" der Differentialgleichung.

Siehe dazu: Erhaltungsgleichung, Finite-Volumen-Verfahren.

Anwendung

Die Burgersgleichung ist das einfachste Beispiel einer nichtlinearen hyperbolischen Gleichung und wird daher oft als Testfall für numerische Algorithmen für diese Art von Gleichungen verwendet.

Sie kann auch als ein einfaches Modell einer eindimensionalen Strömung gesehen werden. Als Beispiel wird oft die Verkehrsdichte im Straßenverkehr genommen, deren zeitlicher Verlauf mit Hilfe der Burgersgleichung modelliert werden kann.

Die Interpretation einer eindimensionalen Strömung rührt von der Ähnlichkeit der Gleichung mit dem nichtlinearen Teil der Navier-Stokes-Gleichung her.

Lösungen

Die unviskose Gleichung kann mit Hilfe der Methode der Charakteristiken gelöst werden. Allerdings besitzt die Gleichung nicht unbedingt eine eindeutige Lösung. Bei geeignet gewählten Anfangswerten können Schocks beobachtet werden. Die viskose Gleichung motiviert dann auch für die Euler-Gleichungen den Begriff der Lösung mit verschwindender Viskosität. Jene ist diejenige Lösung der nichtviskosen Burgersgleichung, die einer Lösung der viskosen Gleichung mit verschwindender Viskosität entspricht.

Für die viskose Burgersgleichung führt eine Hopf-Cole-Transformation zum Ziel.

Literatur

• J. M. Burgers: Mathematical examples illustrating relations occurring in the theory of turbulent fluid motion. Verhandelingen der Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen, Afdeeling Natuurkunde, Reihe 1, ISSN 0373-4668, Bd. 17, H. 2, 1939, S. 1-53
• M. Case, S. C. Chiu, Burgers' turbulence models. Physics of Fluids, ISSN 0031-9171, Bd. 12, 1969, S.1799-1808
• Tomasz Dlotko: The one-dimensional Burgers' equation : existence, uniqueness and stability. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Jagiellonskiego, Prace Matematyczne, ISSN 0450-9005, Bd. 23, 1982, S.157-172
• Samuel S. Shen, A Course on Nonlinear Waves., Nonlinear Topics in the Mathematical Sciences, Kluwer Academic, Dodrecht 1993, ISBN 0-7923-2292-4
• Christof Obertscheider: Burgers' Equation. Abgerufen am 22. Mai 2011 (PDF, englisch).