Areaformel

Unter der Flächenformel versteht man eine Integrationsregel für die Berechnung von Flächeninhalten m-dimensionaler Flächen im $\R^n$ (m ≤ n), sie lautet

$H^m(A)=\int_B\sqrt{\det(Df\,^tDf)}\,dL^m,$

wobei A = f(B) eine in parametrisierter Form vorliegende Fläche bezeichnet bei einer injektiven differenzierbaren Funktion $f:G\to\mathbb R^n$ mit $B\subset G$, G ein Gebiet im $\mathbb{R}^m$. H^m(A) ist das m-dimensionale Hausdorff-Maß (der m-dimensionale Flächeninhalt) von A und L^m das m-dimensionale Lebesgue-Maß (Volumenmaß) im $\R^m$. Der Integrand wird die verallgemeinerte Jacobi-Determinante von f genannt; Df ist die Ableitung (Funktionalmatrix) von f und Df ^t deren Transponierte.

Eine allgemeinere Formulierung der Flächenformel lautet

$\int_A g\,dH^m=\int_B (g\circ f)\sqrt{\det(Df\,^tDf)}\,dL^m$

und liefert den Wert des Integrals einer auf der Fläche A definierten Funktion g nach dem Hausdorff-Maß H^m.

Als Voraussetzungen für diese Formeln sind L^m-Messbarkeit von B und H^m-Messbarkeit von g zu nennen, was allerdings keine wesentliche Einschränkung bedeutet, da alle in der Praxis vorkommenden Mengen bzw. Funktionen diese Eigenschaft besitzen.

Im Spezialfall m = n ergibt die Flächenformel die Transformationsformel aus der Maß- und Integrationstheorie.

Literatur

• Herbert Federer: Geometric Measure Theory. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Vol. 153, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 1969