Mittag-Leffler-Funktion

Die Mittag-Leffler-Funktion ist eine nach dem Mathematiker Magnus Gösta Mittag-Leffler benannte mathematische Funktion, die in den Lösungen von bestimmten gebrochenen Integralgleichungen auftaucht (z. B. bei der Untersuchung von Zufallsbewegungen oder Lévy-Flügen). Sie ist gegeben durch

$\Epsilon_\alpha(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{\Gamma(\alpha k+1)}$,

wobei Γ(x) die Gammafunktion ist. Die Reihe konvergiert für alle α mit positivem Realteil. Im Spezialfall α = 1 ergibt sich die Exponentialfunktion.

Die verallgemeinerte Mittag-Leffler-Funktion beschreibt eine Interpolation zwischen exponentiellem und polynomialen Verhalten und ist gegeben durch

$\Epsilon_{\alpha,\beta}(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{\Gamma(\alpha k+\beta)}$.

Spezialfälle dieser Funktion sind

• Gaußsche Fehlerfunktion:

$E_{1/2,1}(z)=\exp(z^2) \operatorname{erfc}(-z)$

• Hyperbelsinus:

$E_{2,1}(z)=\cosh(\sqrt z)$

Literatur

• M.G. Mittag-Leffler: Sur la nouvelle fonction E_alpha(x). In: Comptes Rendus de l'Académie des sciences 137/1903, S. 554-558
• R.K. Saxena, A.M. Mathai H.J. Haubold : On Fractional Kinetic Equations. In: Astrophysics & Space Science 282/2002, S.281-287 (ISSN 0004-640X), (pdf-Version)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Mittag-Leffler Function. In: MathWorld. (englisch)