Moment (Integration)

Moment in der Integralrechnung ist das bestimmte Integral über das Produkt der Potenz n einer Integrationsvariablen i und einer Funktion f(i) dieser Integrationsvariablen:

$\int_i i^n \ f(i) \ di$

Dabei handelt es sich um eine mathematische Zusammenfassung verschiedener praktisch angewendeter Beschreibungen, zum Beispiel in der Stochastik und häufig in der Mechanik.

In der Mechanik übliche Integrationsvariablen sind Linien-, Flächen-, Volumen- und Masseelemente. Die Momente sind auf Punkte oder Achsen bezogen. Viele in der Mechanik vorkommende physikalische und rechnerische Größen lassen sich als Moment (Integral) darstellen, worauf der in ihnen verwendete Teilbegriff “Moment” deutet.

Beispiele aus der Mechanik

Flächenmomente

Häufig gebrauchte, auf eine Achse bezogene Momente mit einem Flächenelement als Integrationsvariable sind die Flächenmomente:

$\int_A A^n \ f(A) \ dA$.

Da sie auf eine Achse - zum Beispiel auf die x-Achse eines karthesischen Koordinatensystems bezogen werden, lässt sich für das Flächenelement dA das Produkt f(y)·dy schreiben:

$\int_{y_1}^{y_2} y^n \ f(y)\ dy$.

Es handelt sich um das auf die x-Achse bezogene Moment n-ten Grades der zwischen der Kurve x=f(y) und den Abszissen y₁ und y₂ gelegenen Fläche.^[1]
Die Begrenzung der Fläche in Richtung der x-Achse nimmt als f(y) den Platz der Funktion f(A) ein. Eine primäre Funktion f(A) entfällt, denn die Flächenelemente unterscheiden sich nicht.

Das Flächenträgheitsmoment

Das Flächenmoment zweiten Grades ist das Flächenträgheitsmoment I, das als Kenngröße für Querschnitte von Balken bei deren Festigkeits- und Verformungsberechnung dient:

$I_x = \int_{y_1}^{y_2} y^2 \ f(y)\ dy$.

Beim Rechteck (konstante Breite b und Höhe h) ist f(y)=b, das Integral lautet:

$I_x = b \ \int_{-h/2}^{+h/2} y^2 \ dy = b\ \frac{h^3}{12}$.

Die Bezugsachse x führt durch den Flächenschwerpunkt, weshalb zwischen -h/2 und +h/2 zu integrieren ist.

Das Massenträgheitsmoment

Das Massenträgheitsmoment, oder die Drehmasse ist auf eine Rotationsachse bezogen. Integrationsvariable ist primär ein Massenelement dm, dessen infinidecimales Massenträgheitsmoment das Produkt mit seinem Achsabstand r im Quadrat ist:

$J = \int_m r^2\cdot dm$.

Das ist ein Moment (Integral) zweiten Grades, bei dem aber die Basis der Potenz n nicht die Integrationsvariable ist (r ↔ m).

Folglich werde ein homogener Zylinder (konstante Dichte ρ) mit Durchmesser R und Höhe h betrachtet. Das Massenelement wird zunächst durch ein Volumenelement dV ersetzt (dm = ρ·dV), das dann in die Integrationsvariablen dr, dφ und dz aufgelöst wird (dV = dr·rdφ·dz).

Die Integrationen r dφ und dz haben die Kreise r 2π und die Höhe h des Zylinders als Ergebnis. Übrig bleibt folgendes Moment (Integral):

$J = 2\pi h\int_{r_1}^{r_2} r^3 \ dr$       $(= 2\pi h\int_{0}^{R} r^3 \ dr = \frac{\pi h R^4}{2})$ .

Es ist dritten Grades und enthält wegen der angenommenen Homogenität keine Funktion f(r) des Linienelementes dr.

Das Kraft- oder Drehmoment

Zur Ermittlung des Kraft- oder Drehmomentes M ist meistens lediglich das Produkt aus Kraft F und Hebelarm x zu bilden. Mehrere Kräfte lassen sich zu einer resultierenden Kraft mit resultierendem Hebelarm zusammenfassen. Dass dennoch gelegentlich mit einem Moment (Integral) gerechnet wird,^[2] ist ein Hinweis darauf, dass auch beim Drehmoment der Teilbegriif “Moment” von dort stammen könnte.

Anstatt einer oder mehrerer konzentrierter Kräfte liege eine linear verteilte Kraft (Linienkraft) Q(x) vor.^[3] Die Kraftelemente Q(x)·dx sind mit ihrem variablen Hebelarm x (Bezugspunkt sei bei x=0) zu multiplizieren und integral zusammenzufassen:

$M = \int_{x_1}^{x_2} x\cdot Q(x)\cdot dx$

Einzelnachweise

1. ↑ Wolfgang Brauch,Hans-Joachim Dreyer,Wolfhart Haacke: Mathematik für Ingenieure, S.372 [1]
2. ↑ Statisches Moment einer Kraft [2]
3. ↑ Auch linear oder flächig ( Flächendruck) verteilte Kräfte lassen sich zu einer Einzelkraft zusammenfassen, wobei nicht mit einem Moment (Integral) gerechnet werden braucht.

Siehe auch

Faltung (Mathematik)