Arithmetisch-geometrisches Mittel

In der Mathematik bezeichnet man als arithmetisch-geometrisches Mittel zweier positiver reeller Zahlen eine gewisse Zahl, die zwischen dem arithmetischen Mittel und dem geometrischen Mittel liegt.

Definition

Es seien a und b zwei nichtnegative reelle Zahlen. Ausgehend von ihnen werden induktiv zwei Folgen a_n und b_n mit

a0 = a

(1a)

b0 = b

(1b)

definiert:

$a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}2$

(2)

(arithmetisches Mittel)

$b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}$

(3)

(geometrisches Mittel)

Die Folgen a_n und b_n konvergieren gegen einen gemeinsamen Grenzwert M(a,b), der als arithmetisch-geometrisches Mittel von a und b bezeichnet wird.

Dass die beiden Grenzwerte tatsächlich existieren und darüber hinaus sogar noch gleich sind, wird weiter unten in „Wichtige Eigenschaften“ gezeigt.

Einfaches Beispiel

Sei

a0 = 4 und b0 = 9

(4a,b)

Dann ist

$a_{1}=\frac{4+9}2=6{,}5$ und $b_{1}=\sqrt{4\cdot9}=6$

(5)

$a_{2}=6{,}25\,$ und $b_{2}\approx 6{,}245\,$

(6)

$a_{3}\approx b_{3}\approx M(a,b)\approx 6{,}2475\,$

(7)

Einfache Eigenschaften

Für zwei nichtnegative Werte a und b gilt:

$M(a,b)=M(b,a)\,$

(10)

$M(ta,tb)=t\cdot M(a,b)$ für $t\geq0$

(11)

Das heißt, das arithmetisch-geometrische Mittel ist − wie jede Mittelwertfunktion − eine lineare Funktion ihrer beiden Variablen a und b.

$\min\{a,b\}\leq\sqrt{ab}\leq M(a,b)\leq\frac{a+b}2\leq\max\{a,b\}$

(12)

Gleichheit gilt dabei genau für a = b

$M(a,b)=M\bigg(\frac{a+b}2,\sqrt{ab}\bigg)$

(13)

Wichtige Eigenschaften

• Monotonie: Für zwei positive Startwerte 0 < b₀ < a₀ gilt nach der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel stets auch b_n < a_n. Die Folge b₀,b₁,b₂,... ist also monoton wachsend und durch a₀ nach oben beschränkt, deshalb konvergiert sie gegen einen Grenzwert β. Andererseits ist die Folge a₀,a₁,a₂,... monoton fallend und nach unten beschränkt, das heißt, sie konvergiert gegen einen Grenzwert α. Oder anders geschrieben:

$b_0 < b_1 < \text{...} < b_n < b_{n+1} < \text{...} < \beta \le \alpha < \text{...} a_{n+1} < a_n < \text{...} < a_1 < a_0.$

(14)

Geht man nun in der Definitionsgleichung a_n+1 = (a_n + b_n)/2 zum Grenzwert über (das ist erlaubt, weil alle Grenzwerte existieren), dann erhält man α = (α + β)/2, woraus α = β folgt. Somit sind die beiden Grenzwerte gleich und es ist α = β = M(a,b) das arithmetisch-geometrische Mittel.

• Konvergenzgeschwindigkeit: Sei

$c_n := \sqrt{{a}_{n}^{2} - {b}_{n}^{2}}$

(15)

Wegen der Abschätzung

$c_{n+1} = \frac{1}{2}(a_n-b_n) = \frac{{c}_{n}^{2}}{4{a}_{n+1}} \leq \frac{{c}_{n}^{2}}{M(a,b)}$

(16)

liegt ein Verfahren mit quadratischer Konvergenz vor.

Alternative Darstellung

Man kann beide Folgen auch voneinander "entkoppeln": Sei

a0 = a, b0 = b, $a_1=\frac{a_0+b_0}2$ und $b_1=\sqrt{a_0b_0}$.

(21)

Dann kann man die obigen Gleichungen umformen zu:

$a_n = \frac{a_{n-1} \; + \sqrt{(2a_{n-1} - a_{n-2})\cdot a_{n-2}}}{2}$

(22)

$b_n = \sqrt{\frac{b_{n-1}\cdot(b_{n-1}^2 + b_{n-2}^2)}{2b_{n-2}}}$

(23)

Historisches

Das arithmetisch-geometrische Mittel wurde unabhängig voneinander von den Mathematikern Carl Friedrich Gauß und zuvor schon von Adrien-Marie Legendre entdeckt. Sie nutzten es, um die Bogenlänge von Ellipsen, also elliptische Integrale, näherungsweise zu berechnen. Gauß etwa notierte zum Zusammenhang zwischen dem arithmetisch-geometrischen Mittel und dem elliptischen Integral 1. Gattung (Bogenlänge einer Lemniskate) die Gleichung

$\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{2})} = \int_0^1\frac{\mathrm dt}{\sqrt{1-t^4}}$

(24)

in sein Mathematisches Tagebuch.^[1]

Verfahren von Salamin und Brent

Das nachfolgende Verfahren zur Berechnung der Kreiszahl π wurde 1976 unabhängig voneinander von Richard P. Brent und Eugene Salamin publiziert. Es nutzt wesentlich die Erkenntnisse von Gauß über das arithmetisch-geometrische Mittel. Gauß bemerkte zu seiner Zeit allerdings nicht, dass sich damit auch ein schneller Algorithmus zur Berechnung der Zahl π konstruieren lässt. Dennoch wird das Verfahren oft auch als Methode von Gauß, Brent und Salamin bezeichnet.

Die Schritte des Verfahrens können folgendermaßen beschrieben werden:

• Initialisierung: Man verwendet als Startwerte

$a_0 = 1\qquad b_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}\qquad s_0 = \frac{1}{2}\qquad$

(31)

• Schleife: Für

n = 1,2,...

berechnet man

$a_{n} = \frac{a_{n-1} + b_{n-1}}{2} \,$

(32)

$b_{n} = \sqrt{a_{n-1}b_{n-1}} \,$

(33)

$c_{n} = a_{n}^2 - b_{n}^2 \,$

(34)

$s_{n} = s_{n-1} - 2^{n}c_{n} \,$

(35)

$p_{n} = \frac{2a_{n}^2}{s_{n}} \,$

(36)

Die Folge der (p_n) konvergiert quadratisch gegen π, das heißt, dass mit jedem Durchlaufen der Schleife sich die Zahl der korrekt berechneten Ziffern etwa verdoppelt. Damit konvergiert dieser Algorithmus deutlich schneller gegen π als viele klassische Verfahren.

Zahlenbeispiel

Mit den Startwerten

$a_0 = 1\qquad b_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0{,}707106781186547\qquad s_0 = \frac{1}{2}=0{,}5\qquad$

(37)

berechnet man iterativ:

Index n	an	bn	cn	sn	pn
n = 0	1	0,70710 67811 86547		0,5
n = 1	0,85355 33905 93274	0,84089 64152 53715	0,02144 66094 06726	0,45710 67811 86547	3,18767 26427 12110
n = 2	0,84722 49029 23494	0,84720 12667 46891	0,00004 00497 56187	0,45694 65821 61801	3,14168 02932 97660
n = 3	0,84721 30848 35193	0,84721 30847 52765	0,00000 00001 39667	0,45694 65810 44462	3,14159 26538 95460

Nach drei Iterationen erhält man für das arithmetisch-geometrische Mittel den Näherungswert $M(1,1/\sqrt{2})\approx a_3 \approx 0{,}847213084.$

Für die Zahl π ergibt sich die Näherung $\pi\approx p_3 \approx 3{,}141592653.\,$

Beziehung zu elliptischen Integralen

Es gilt:

$\frac{\pi/4}{M(a,b)}=\int_0^1\frac{\mathrm dt}{\sqrt{(1-t^2)((a+b)^2-(a-b)^2t^2)}}$

(41)

Die rechte Seite ist ein vollständiges elliptisches Integral erster Art.

Literatur

• Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein: Pi and the AGM, A Study in Analytic Number Theory an Computational Complexity. John Wiley, New York 1987, ISBN 0-471-31515-X.

Weblinks

• Christian W. Hoffmann: π und das arithmetisch-geometrische Mittel. (PDF-Datei)
• David H. Bailey et al. The Quest for Pi (PDF-Datei; 119 kB)
• Eric W. Weisstein: Arithmetic-Geometric Mean. In: MathWorld. (englisch)

Einzelnachweise

1. ↑ Vgl. Carl Friedrich Gauß: Mathematisches Tagebuch 1796–1814. Mit einer historischen Einführung von Kurt-R. Biermann. Durchgesehen und mit Anmerkungen versehen von Hans Wußing und Olaf Neumann. Frankfurt am Main: Harri Deutsch, ⁵2005. (Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften, Bd. 256.), Nr. 98 (Braunschweig, 30. Mai 1798): „Terminum medium arithmetico-geometricum inter 1 et $\sqrt{2}$ esse $= \frac{\pi}{\varpi}$ usque ad figuram undecimam comprobavimus, qua re demonstrata prorsus novus campus in analysi certo aperietur.“ „Wir haben bis zur elften Stelle nachgewiesen, daß der Wert des arithmetisch-geometrischen Mittels zwischen 1 und $\sqrt{2} = \frac{\pi}{\varpi}$ ist; durch diesen Beweis wird uns ganz gewiß ein völlig neues Feld in der Analysis eröffnet werden.“ Dabei ist $\varpi := 2\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}$ die von Gauß eingeführte lemniskatische Konstante.