Lemniskatische Konstante

Die lemniskatische Konstante ist eine 1798 von Carl Friedrich Gauß eingeführte mathematische Konstante. Sie ist definiert als der Wert des elliptischen Integrals

$\varpi = 2 \int_0^1\frac{\mathrm dt}{\sqrt{1-t^4}}$ = 2,62205 75542 92119 81046 … (Folge A062539 in OEIS)

und tritt bei der Berechnung der Bogenlänge der gesamten Lemniskate auf.

Bezeichnung

Gauß wählte für die lemniskatische Konstante bewusst die griechische Minuskel $\varpi$ (gesprochen: Skript-Pi oder Varpi), eine alternative Schreibweise von $\pi\$, um an die Analogie zum Kreis mit seinem halben Umfang

$\pi = 2\int_0^1\frac{\mathrm dt}{\sqrt{1-t^2}}$

zu erinnern. Den Ursprung dieser Bezeichnung bei Gauß klärte vermutlich zuerst Ludwig Schlesinger auf: Zunächst verwendete Gauß zur Bezeichnung der lemniskatischen Periode das Zeichen Π, und ab Juli 1798 verwendete er für diese Größe konsequent $\tfrac{\varpi}{2}$.

Im Englischen findet sich für die Minuskel $\varpi$ auch die (irreführende) Bezeichnung pomega.

Im englischen Sprachraum wird $G = \varpi/\pi$ = 0,83462 68416 74073 18628 … (Folge A014549 in OEIS) als Gaußkonstante bezeichnet.

Eigenschaften

Mit der Betafunktion Β und der Gammafunktion Γ gilt

$\varpi = \tfrac{1}{2}\,\Beta(\tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{2}) = \Gamma(\tfrac{1}{4})^2 / \bigl(2 \sqrt{2\pi}\bigr).$

Gauß fand die Beziehung

$\varpi = \pi / M(1, \sqrt{2})$

mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel M und gab auch eine schnell konvergierende Reihe

$\varpi = \frac{\pi}{\sqrt{2}} \sum_{k=0}^\infty \binom{2k}{k}^{\!2} \frac{1}{2^{5k}}$

mit Summanden der Größenordnung $\frac{1}{k2^k}$ an. Die Auswertung

$\varpi = 2 \sum_{k=0}^\infty \binom{2k}{k} \frac{1}{(4k+1) 2^{2k}}$

des elliptischen Integrals ergibt eine ähnliche Reihe, die jedoch sehr viel langsamer konvergiert, da die Glieder von der Größenordnung $\frac{1}{k^{3/2}}$ sind. Sehr schnell konvergiert die Reihe in

$\varpi = \pi \biggl(\sum_{k=-\infty}^\infty (-1)^k\,e^{-\pi k^2}\biggr)^2$

mit Summanden der Größenordnung $e^{- \pi k^2}$.

Niels Nielsen stellte 1906 mit Hilfe der Kummerschen Reihe der Gammafunktion einen Zusammenhang mit der eulerschen Konstante γ her:^[1]

$\log\varpi = \tfrac12\gamma - \tfrac12\log2 + \log\pi + \frac2{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k\frac{\log(2k+1)}{2k+1}\,.$

Theodor Schneider bewies 1937 die Transzendenz von $\varpi$.^[2] Gregory Chudnovsky zeigte 1975, dass Γ(1 / 4) und somit auch $\varpi$ algebraisch unabhängig von π ist.^[3][4]

Siehe auch

• Lemniskatischer Sinus

Literatur

• Theodor Schneider: Einführung in die transzendenten Zahlen. Springer-Verlag, Berlin 1957, S. 64.
• Carl Ludwig Siegel: Transzendente Zahlen. Bibliographisches Institut, Mannheim 1967, S. 81–84.
• A. I. Markuschewitsch: Analytic Functions. Kapitel 2 in: A. N. Kolmogorov, A. P. Juschkewitsch (Hrsg.): Mathematics of the 19th Century. Geometry, analytic function theory. Birkhäuser, Basel 1996, ISBN 3-7643-5048-2, S. 133–136.
• Jörg Arndt, Christoph Haenel: π. Algorithmen, Computer, Arithmetik. 2. Auflage, Springer, 2000, S. 94–96 (hier ist die griechische Minuskel ϖ typographisch korrekt wiedergegeben)
• Steven R. Finch: Gauss’ Lemniscate constant, Kapitel 6.1 in Mathematical constants, Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 420–423 (englisch)
• Hans Wußing, Olaf Neumann: Mathematisches Tagebuch 1796–1814 von Carl Friedrich Gauß. Mit einer historischen Einführung von Kurt-R. Biermann. Ins Deutsche übertragen von Elisabeth Schuhmann. Durchgesehen und mit Anmerkungen versehen von Hans Wußing und Olaf Neumann. 5. Auflage, 2005, Eintrag [91a].

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Lemniscate Constant und Gauss’s Constant. In: MathWorld. (englisch)
• Folge A062540 in OEIS (Kettenbruchentwicklung von ϖ)
• Folge A053002 in OEIS (Kettenbruchentwicklung von ϖ/π)

Einzelnachweise

1. ↑ Niels Nielsen: Handbuch der Theorie der Gammafunktion. Teubner, Leipzig 1906, S. 201 (der korrekte Faktor vor der Summe ist 2/π statt 2)
2. ↑ Theodor Schneider: Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale (11. März 1936), Mathematische Annalen 113, 1937, S. 1–13
3. ↑ G. V. Choodnovsky: Algebraic independence of constants connected with the functions of analysis, Notices of the AMS 22, 1975, S. A-486 (englisch; vorläufiger Bericht)
4. ↑ Gregory V. Chudnovsky: Contributions to the theory of transcendental numbers, American Mathematical Society, 1984, ISBN 0-8218-1500-8, S. 8 (englisch)