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Näherung für Hypergeometrische Verteilung
Eine Hypergeometrische Verteilung h(x|N,M,n), bei der n viel kleiner als N ist, kann durch eine Binomialverteilung mit der gleichen Menge n und Einzelwahrscheinlichkeit p = M/N angenähert werden. Als Kriterium für diese Näherung wird häufig die Daumenregel N>20*n angeführt.
Beispiel
In einem Behälter befinden sich 1000 Kugeln, davon sind 125 gelb. Es werden 5 Kugeln ohne Zurücklegen entnommen.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 0, 1, 2, 3, 4, 5 der entnommenen Kugeln gelb sind.Die exaktere Hypergeometrische Verteilung h(x|1000, 125, 5) kann durch die leichter berechenbare Binomialverteilung B(x|125/1000, 5) angenähert werden.
x h(x|1000, 125, 5) in % B(x|125/1000, 5) in % h / B 0 51.21743713529586 51.2908935546875 0.9985678467599065 1 36.7518923186681 36.6363525390625 1.0031536922100095 2 10.452373044758817 10.467529296875 0.998552069768679 3 1.4726711162718609 1.495361328125 0.9848262681223742 4 0.1027836820281276 0.1068115234375 0.9622901979136242 5 0.002842702977235072 0.0030517578125 0.9314969115803883 Näherung für Binomialverteilung durch Poisson-Verteilung
Eine Binomialverteilung B ME,EW, bei der ME groß und EW klein ist, kann durch eine Poisson-Verteilung mit λ = ME * EW angenähert werden.
Beispiel
Eine Veranstaltung wird von 70 Personen besucht. Die Wahrscheinlichkeit, in diesem Jahr an einem Montag Geburtstag zu haben, beträgt für jeden Besucher 1/7.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 0, 1, 2, 3, ..., 70 der Besucher in diesem Jahr an einem Montag Geburtstag haben.Die exaktere Binomialverteilung B(x|1/7, 70) kann durch die leichter berechenbare Poisson-Verteilung P10 angenähert werden.
x B(x|1/7, 70) in % P10(x) in % B / P 0 0.002059324213047817 0.004539992976248485 0.45359634339115 1 0.024025449152224532 0.04539992976248486 0.5291957339563417 2 0.13814633262529105 0.22699964881242427 0.6085750940497928 3 0.5218861454733217 0.7566654960414142 0.6897184399230984 4 1.4569321561130226 1.8916637401035354 0.7701855912474599 5 3.2052507434486497 3.783327480207071 0.8472041503722058 6 5.787258286782282 6.305545800345118 0.9178044962365559 7 8.81867929414443 9.007922571921597 0.9789914626523262 8 11.57451657356456 11.259903214901998 1.0279410357849423 9 13.289259769648199 12.511003572113333 1.0622057369777733 10 13.510747432475664 12.511003572113333 1.0799091659274027 11 12.282497665886966 11.37363961101212 1.0799091659274025 12 10.064824476212932 9.478033009176768 1.0619106798286126 13 7.484100251542948 7.290794622443666 1.0265136571676587 14 5.078496599261285 5.207710444602618 0.9751879743092757 15 3.1599534395403555 3.4718069630684125 0.9101754426886574 16 1.8103899914033286 2.169879351917758 0.8343274891312692 17 0.9584417601547033 1.2763996187751518 0.7508947402181421 18 0.47034641933517835 0.7091108993195289 0.6632903538593586 19 0.2145439807493796 0.37321626279975206 0.5748516400114442 20 0.09118119181848632 0.18660813139987603 0.4886238940097274 30 5.155693687577098e-7 0.000017115717355367895 0.030122568517177283 40 8.526574737547631e-15 5.5642945652105266e-11 0.00015323729967241635 50 4.124466238879218e-25 1.4927267257774844e-17 2.7630417327263945e-8 60 1.671540317604914e-38 5.456075000160363e-25 3.063631488855606e-14 70 6.968466218141442e-58 3.790095431519757e-33 1.8385991445463995e-25 71 0 5.3381625796052916e-34 0 Näherung für Binomialverteilung durch Dichtefunktion der Normalverteilung
Eine Binomialverteilung B ME,EW, bei der ME groß und EW nahe 0.5 ist, kann durch die Dichtefunktion einer Normalverteilung mit Erwartungswert = ME * EW und Streuung = ME * EW * ( 1 - EW ) angenähert werden.
Beispiel
Eine Münze wird 20-mal geworfen. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze auf ihre Vorderseite fällt, liegt bei jedem einzelnen Wurf bei 50 Prozent.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze genau 0, 1, 2, 3, ..., 20-mal auf ihre Vorderseite fällt.Die exaktere Binomialverteilung B(x|0.5, 20) kann durch die leichter berechenbare Dichtefunktion mit Erwartungswert 10 und Streuung 5 angenähert werden.
x B(x|0.5, 20) in % „Normdichte“(x) in % B / „Normdichte“ -1 0 0.00009918861648498695 0 0 0.000095367431640625 0.0008099910956089116 0.11773886423891171 1 0.0019073486328125 0.005415514964427321 0.352200787061106 2 0.01811981201171875 0.02964424401438653 0.611242169067462 3 0.1087188720703125 0.13285628439771074 0.8183193784409784 4 0.4620552062988281 0.48748912161279473 0.9478267017942436 5 1.47857666015625 1.4644982561926487 1.0096131244295243 6 3.696441650390625 3.6020844672153665 1.0261951611723872 7 7.39288330078125 7.253707348392292 1.0191868717201287 8 12.013435363769531 11.959341596728198 1.0045231392216551 9 16.017913818359375 16.143422587153616 0.9922253928424003 10 17.619705200195312 17.84124116152771 0.9875829288261564 11 16.017913818359375 16.143422587153616 0.9922253928424003 12 12.013435363769531 11.959341596728198 1.0045231392216551 13 7.39288330078125 7.253707348392292 1.0191868717201287 14 3.696441650390625 3.6020844672153665 1.0261951611723872 15 1.47857666015625 1.4644982561926487 1.0096131244295243 16 0.4620552062988281 0.48748912161279473 0.9478267017942436 17 0.1087188720703125 0.13285628439771074 0.8183193784409784 18 0.01811981201171875 0.02964424401438653 0.611242169067462 19 0.0019073486328125 0.005415514964427321 0.352200787061106 20 0.000095367431640625 0.0008099910956089116 0.11773886423891171 21 0 0.00009918861648498695 0 Weblinks
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