Oseen-Gleichungen

Die Oseen-Gleichungen (nach Carl Wilhelm Oseen) sind ein mathematisches Modell der Strömung von inkompressiblen Flüssigkeiten und Gasen im stationären Gleichgewicht. Im Allgemeinen werden solche Fluidströmungen von den zeitabhängigen inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen beschrieben, mit denen die Oseen-Gleichungen verwandt sind.

Formulierung

Wie die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen sind die Oseen-Gleichungen ein System von partiellen Differentialgleichungen in vier Unbekannten (Geschwindigkeit in drei Raumdimensionen und Druck), ausgedrückt in vier Gleichungen. Die Impulsgleichung

$(\mathbf{b} \cdot \nabla) \mathbf{v} + \nabla p - \nu \Delta \mathbf{v} = \mathbf{f}$

beschreibt die Strömungsgeschwindigkeit $\mathbf{v}$ unter dem Einfluss von Konvektion mit strömungsunabhängiger Geschwindigkeit $\mathbf{b}$, Diffusion infolge der kinematischen Viskosität ν unter dem Einwirken einer externen Volumenkraft $\mathbf{f}$. Die Impulsgleichung ist über den Druck p an die Kontinuitätsgleichung gekoppelt, welche Divergenzfreiheit garantiert, $-\nabla \cdot \mathbf{v} = 0.$

Der wesentliche Unterschied zu den Navier-Stokes-Gleichungen ist das Fehlen der Zeitableitung (da stationär) und die strömungsunabhängige Konvektionsgeschwindigkeit $\mathbf{b}$ im Gegensatz zu $\mathbf{b}=\mathbf{v}$.

Relevanz der Oseen-Gleichungen

Die Oseen-Gleichungen entstehen bei der Linearisierung der stationären Navier-Stokes-Gleichungen mittels einer sog. Picard-Iteration. Die nichtlineare Impulsgleichung

$(\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v} + \nabla p - \nu \Delta \mathbf{v} = \mathbf{f}$

kann über einen iterativen Prozess numerisch approximiert werden. Man startet mit einem passenden Geschwindigkeitsfeld $\mathbf{v}_0$ und löst dann sukzessive

$(\mathbf{v}_{n-1} \cdot \nabla) \mathbf{v}_n + \nabla p_n - \nu \Delta \mathbf{v}_n = \mathbf{f}_n$

unter Berücksichtigung der Inkompressibilität für $n=1,2,\ldots$, bis Konvergenz eintritt, d.h. die Änderung zwischen $\mathbf{v}_n$ und $\mathbf{v}_{n+1}$ gering ist.

Daneben können die Oseen-Gleichungen als eine Erweiterung der stationären Stokes-Gleichung um den Konvektionsterm $(\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v}$ aufgefasst werden.

In der numerischen Mathematik dienen die Oseen-Gleichungen hauptsächlich zur Analyse und Weiterentwicklung von Ortsdiskretisierungen der Navier-Stokes-Gleichungen, ohne sich mit Zeitintegration und iterativen Auflösung der Nichtlinearität beschäftigen zu müssen. Insbesondere im Bereich der numerischen linearen Algebra in der numerischen Strömungsmechanik, d.h. dem Lösen des linearen Gleichungssystems, sind die Oseen-Gleichungen ein beliebter Benchmark.

Die Oseen-Gleichungen beinhalten zwei fundamentale Eigenschaften, die auch bei der Diskretisierung der Navier-Stokes-Gleichungen auftreten, nämlich die Sattelpunktstruktur durch Geschwindigkeits-Druck-Kopplung sowie eine möglicherweise dominierende Konvektion (im Vergleich zur Diffusion).

Literatur

• Carl Wilhelm Oseen: Über die Stokes'sche Formel, und über eine verwandte Aufgabe in der Hydrodynamik. In: Arkiv för matematik, astronomi och fysik. 6, 29, 1904, ISSN 0365-4133, S. 1–20.
• David Kay, Daniel Loghin, Andrew Wathen: A preconditioner for the steady-state Navier-Stokes equations. In: SIAM Journal on Scientific Computing. 24, 2002, ISSN 0196-5204, S. 237–256.
• Dieter Braess: Finite Elemente. Theorie, schnelle Löser und Anwendungen in der Elastizitätstheorie. 3. korrigierte und ergänzte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-00122-0, Abschnitt III.4.