Navier-Stokes-Gleichungen

Die Dispersion und Refraktion von Meereswellen kann mittels der Navier-Stokes-Gleichung simuliert und berechnet werden.^[1]

Die Navier-Stokes-Gleichungen [navˈjeː stəʊks] (nach Claude Louis Marie Henri Navier und George Gabriel Stokes) beschreiben die Strömung von newtonschen Flüssigkeiten und Gasen. Die Gleichungen sind somit eine Erweiterung der Euler-Gleichungen um die innere Reibung oder Viskosität.

Im engeren Sinne, insbesondere in der Physik, ist mit Navier-Stokes-Gleichungen die Impulsgleichung^[2] für Strömungen gemeint. Im weiteren Sinne^[3], insbesondere in der Numerischen Strömungsmechanik, wird diese Impulsgleichung um die Kontinuitätsgleichung und die Energiegleichung erweitert und bildet dann ein System von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Dieses ist das grundlegende mathematische Modell der Strömungsmechanik. Insbesondere bilden die Gleichungen Turbulenz und Grenzschichten ab.

Geschichte

1755 leitete Leonhard Euler die Euler-Gleichungen her, mit denen sich das Verhalten reibungsfreier Fluide beschreiben lässt. Voraussetzung dafür war seine bis heute gültige Definition des Drucks in einem Fluid. ^[4] Stokes und Navier formulierten unabhängig voneinander in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts (1827 bzw. 1845) dann den Impulssatz für reibungsbehaftete newtonsche Fluide, wie Wasser, Luft oder Öle in differentieller Form. 1843 veröffentlichte de Saint-Venant eine korrekte Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen, zwei Jahre bevor Stokes dies tat, es setzte sich allerdings der Name Navier-Stokes-Gleichungen durch. Auch Poisson veröffentlichte sie 1831. Einen wesentlichen Fortschritt im theoretischen und praktischen Verständnis lieferte Ludwig Prandtl 1904 mit seiner Grenzschichttheorie.

Die Formulierung der Gleichungen

Impulsgleichung

Die Navier-Stokes-Gleichung im engeren Sinne ist der Impulssatz als Anwendung der newtonschen Axiome für ein Kontinuum. Eine häufig verwendete Form für kompressible Fluide ist:

$\rho \dot{\mathbf{v}} = \rho \left( \frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v} \right) =-\nabla p + \mu \Delta \mathbf{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \mathbf{v})+\mathbf{f}.$

Hier ist ρ die Dichte, p der Druck und $\mathbf{v}$ die Geschwindigkeit eines Teilchens in der Strömung. Der Vektor $\mathbf{f}$ beschreibt die Volumenkraftdichte wie beispielsweise die Gravitation oder die Corioliskraft jeweils bezogen auf das Einheitsvolumen und besitzt die Einheit Newton/Kubikmeter. Die Stoffkonstanten λ und μ sind die Lamé-Viskositäts-Konstanten werden in der Regel über die experimentell sehr gut validierte Stokes-Relation λ = − 2 / 3μ miteinander in Beziehung gesetzt^[5]. μ wird auch als dynamische Viskosität bezeichnet.

Mit der Kontinuitätsgleichung wird hieraus die Gleichung für die Impulsdichte $\mathbf m = \rho \mathbf v$:

$\frac{\partial\mathbf{m}}{\partial t} + \nabla \cdot ( \mathbf{vm} ) =-\nabla p + \mu \Delta \mathbf{v} + \frac13 \mu \nabla (\nabla \cdot \mathbf{v})+\mathbf{f}.$

Zur Vervollständigung der Gleichungen müssen noch der Massenerhaltungssatz (die Kontinuitätsgleichung) und der Energieerhaltungssatz hinzugefügt werden. Je nach weiteren Annahmen, die an das Fluid gestellt werden, ergibt sich das vollständige System in unterschiedlicher Form. Die am häufigsten verwendete Form sind die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen.

Navier-Stokes-Gleichungen für inkompressible Fluide

Flüssigkeiten können in guter Näherung als inkompressibel betrachtet werden.

Falls sich die Dichte entlang Teilchenbahnen nicht ändert, heißt die Strömung inkompressibel. Dies ist beispielsweise eine sinnvolle Annahme für Wasser. Die Kontinuitätsgleichung vereinfacht sich zur Divergenzfreiheit des Geschwindigkeitsfeldes

$\nabla \cdot \mathbf{v} = 0,$

welche eine alternative Charakterisierung inkompressibler Fluide liefert. Die Impulsgleichung vereinfacht sich zu:

$\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \left(\mathbf{v} \cdot \nabla \right) \mathbf{v}\right) = -\nabla p + \mu \Delta \mathbf{v} + \mathbf{f}.$

Hierbei stehen p und $\mathbf{f}$ jeweils für den physikalischen Druck beziehungsweise die Volumenkraft bezogen auf das Einheitsvolumen. μ ist die dynamische Viskosität. Damit wird eine inkompressible Strömung vollständig durch ein partielles Differentialgleichungssystem mit zwei Gleichungen für die zwei Größen Geschwindigkeit $\mathbf{v}$ und Druck p in Abhängigkeit von Ort und Zeit beschrieben. Die Energieerhaltung wird nicht zum Schließen des Systems benötigt. Dieser Satz von Gleichungen wird auch als inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen mit variabler Dichte bezeichnet. Anwendungsbeispiele für diese Gleichung sind Probleme der Ozeanographie, wenn Wasser unterschiedlichen Salzgehalts zwar inkompressibel ist, aber keine konstante Dichte hat.

In vielen praktischen Problemen ist die Strömung nicht nur inkompressibel, sondern hat sogar konstante Dichte. Hier kann man durch die Dichte dividieren und sie in die Differentialoperatoren einbeziehen:

$\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v} = - \nabla \overline{p} + \nu \Delta \mathbf{v} + \overline{\mathbf{f}}.$

In dieser Gleichung steht $\overline{p} = p / \rho$ für den Quotient aus physikalischem Druck und Dichte, $\overline{\mathbf{f}} = \mathbf{f} / \rho$ steht für den Quotient aus Volumenkraft und Dichte. Beide Größen beschreiben somit den Druck bzw. die Volumenkraft bezogen auf die Einheitsmasse. Die Größe ν = μ / ρ heißt kinematische Viskosität und beschreibt den diffusiven Impulstransport.

Die zuletzt genannten Gleichungen werden in der Literatur üblicherweise als die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen oder einfach nur als die Navier-Stokes-Gleichungen bezeichnet, weil sie die am besten untersuchten und in der Praxis am häufigsten benutzten sind. Sie gelten für viele wichtige Strömungsprobleme, beispielsweise für Luftströmungen weit unterhalb der Schallgeschwindigkeit, für Wasserströmungen, sowie für flüssige Metalle. Sobald sich die Dichten der betrachteten Fluide jedoch stark ändern, wie zum Beispiel bei Überschallströmungen oder bei der Meteorologie, stellen die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen kein geeignetes Modell der Wirklichkeit mehr dar und müssen durch die vollständigen (kompressiblen) Navier-Stokes-Gleichungen ersetzt werden.

Navier-Stokes-Gleichungen für kompressible Fluide

Gase sind kompressible Fluide, was technisch beispielsweise im Zweitaktmotor ausgenutzt wird.

Diese Form der Navier-Stokes-Gleichungen gilt für ein allgemeines ideales Gas und besteht aus den Gleichungen zur Massenerhaltung, Impulserhaltung, Energieerhaltung und der Zustandsgleichung. Unter der Annahme, dass die Dichte entlang Teilchenbahnen konstant ist, erhält man die Gleichungen für inkompressible Fluide zurück. Eine Entdimensionalisierung liefert diverse dimensionslose Kennzahlen wie die Reynolds-Zahl oder die Prandtl-Zahl.

Zur Schreibweise: $\partial_t$ ist die Ableitung der Größe nach der Zeit, $\nabla_x$ ist die Divergenz (bzw. der Gradient), $x_i~(i=1,2,3)$ sind die 3 Ortskoordinaten.

Massenerhaltung

Die Massenerhaltung wird hier formuliert mit der Impulsdichte $\mathbf{m} = \rho \mathbf{v}$, d.h. es ergibt sich

$\frac {\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{m} = 0.$

Impulserhaltung

Die Impulserhaltung lautet in Indexschreibweise

$\partial_t m_i + \sum_{j=1}^3 \partial_{x_j} (m_i v_j + p \delta_{ij}) = \sum_{j=1}^3 \partial_{x_j} S_{ij} + \rho g_i \qquad (i=1,2,3),$

wobei δ_ij das Kronecker-Delta ist und

$S_{ij} = \mu \left[(\partial_{x_j} v_i + \partial_{x_i} v_j) - \frac{2}{3} \delta_{ij} \sum_{k=1}^3 \partial_{x_k} v_k\right] \qquad (i,j=1,2,3)$

den viskosen Spannungstensor beschreibt. Dabei ist μ die dynamische Viskosität und g_i die i-te Komponente des Gravitationsvektors. In der alternativen koordinateninvarianten Schreibweise lautet die Gleichung der Impulserhaltung

$\frac{\partial \mathbf m}{\partial t} + \nabla \cdot (\mathbf{vm}) = \nabla \cdot \left( \mathbb S -p \mathbb I \right) + \rho \mathbf g,$

wobei

$\mathbb S = \mu \left[ \nabla \mathbf v + (\nabla \mathbf v)^T - \frac{2}{3}\nabla \cdot \mathbf v\right]$

der viskose Spannungstensor und μ die dynamische Viskosität ist. $\mathbb S - p \mathbb I$ ist der Spannungstensor^[6] und $\mathbb I$ ist der Einheitstensor.

Energieerhaltung

Die Gleichung für die Energieerhaltung lautet

$\partial_t \rho E + \nabla \cdot (H \mathbf{m}) = \sum_{j=1}^3 \partial_{x_j} \left (\sum_{i=1}^3 S_{ij} v_i - W_j \right) + q - \rho \mathbf{v} \cdot \mathbf{g},$

wobei

$H = E + \frac{p}{\rho}$

die Enthalpie pro Einheitsmasse ist. Der Wärmefluss W_j kann mittels des Wärmeleitkoeffizienten κ als

$W_j = -\kappa \partial_{x_j} T$

geschrieben werden. q ist ein Quellterm, der z. B. die Absorption und Emission aus den Treibhausgasen beschreibt. Die totale Energie pro Einheitsmasse E ist die Summe von innerer (e), kinetischer und potentieller Energie, sie lässt sich (mit der Höhe h) also schreiben als

$E = e + \frac{1}{2} |\mathbf{v}^2| + h |\mathbf{g}|.$

Zustandsgleichung

Wir haben also vier Gleichungen für fünf Variablen und das System wird durch die Zustandsgleichung abgeschlossen:

$p = (\gamma -1) \rho \left(E - \frac{1}{2} |{\textbf v}|^2 - h |\mathbf{g}|\right).$

Die thermodynamischen Größen Dichte, Druck und Temperatur sind durch das ideale Gasgesetz (Gesetz von Boyle-Mariotte) verbunden:

$T = \frac{p}{\rho R} \qquad \text{und} \qquad e = \frac{R T}{\gamma - 1}.$

Schließlich hängen der adiabatische Exponent γ und die Gaskonstante R durch den spezifischen Wärmekoeffizienten für konstanten Druck c_p respektive konstantes Volumen c_v durch $\gamma = \frac{c_p}{c_v}$ und R = c_p − c_v zusammen.

Randbedingungen

Schematische Darstellung des Geschwindigkeitprofils der Grenzschicht bei Verwendung einer Haftbedingung.

Ein wesentlicher Punkt bei den Navier-Stokes-Gleichungen ist die experimentell sehr gut nachgewiesene Haftbedingung (No-Slip-Bedingung), bei der an einer festen Wand sowohl in Normalenrichtung, als auch insbesondere in tangentialer Richtung als Geschwindigkeit Null vorgeschrieben werden. Dies führt zur Bildung einer Grenzschicht, die für wesentliche, nur durch die Navier-Stokes-Gleichungen modellierte, Phänomene verantwortlich ist. Nur wenn die freie Weglänge bewegter Moleküle groß ist zur charakteristischen Länge der Geometrie (z. B. für Gase mit extrem niedrigen Dichten oder Strömungen in extrem engen Spalten) ist diese Bedingung nicht mehr sinnvoll.

Zusätzlich muss am Rand noch entweder eine Temperatur oder ein Wärmefluss vorgeschrieben werden.

Lösungsansätze

Theoretische Lösung

Es ist bis heute nicht gelungen, die Existenz von globalen Lösungen nachzuweisen. Mathematiker wie P.-L. Lions (siehe Literaturliste) betrachten im Wesentlichen den wichtigen Spezialfall der inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen. Während hier für den zweidimensionalen Fall unter anderem von Roger Temam und Ciprian Foias bereits weitreichende Existenz-, Eindeutigkeits- und Regularitätsaussagen bewiesen werden konnten, gibt es bislang keine Resultate für den allgemeinen dreidimensionalen Fall, da hier einige fundamentale Einbettungssätze für sogenannte Sobolevräume nicht mehr eingesetzt werden können. Allerdings gibt es für endliche Zeiten oder spezielle, insbesondere kleine, Anfangsdaten auch im dreidimensionalen Fall - vor allem für schwache Lösungen - Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen.

Das Problem des allgemeinen, inkompressiblen Existenzbeweises in drei Dimensionen gehört laut Clay Mathematics Institute zu den wichtigsten ungelösten mathematischen Problemen dieses Jahrhunderts.

In der Praxis gewinnt man analytische Lösungen, indem man die physikalischen Modelle/Randbedingungen vereinfacht (Spezialfälle). Besondere Schwierigkeit bereitet hier die Nichtlinearität der konvektiven Beschleunigung $(\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v}$. Nützlich ist hierbei die Darstellung mit Hilfe der Vortizität $\mathbf{\omega} = \nabla \times \mathbf{v} = \mathbf{rot}\;\mathbf{v}$:

$(\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v} = \frac{1}{2} \nabla (\|\mathbf{v}\|)^2 - \mathbf{v} \times \mathbf{\omega}$.

Geschlossene analytische Lösungen existieren fast nur für Fälle, in denen der zweite Term verschwindet. Dies ist bei der Annahme, dass bei 3-dimensionalen Strömungen die Wirbel sich immer entlang der Stromline ausbilden (also dem Helmholtz-Wirbelsatz), also $\mathbf{\omega} \| \mathbf{v}$ der Fall. Diese Annahme trifft aber nicht bei allen realen Strömungen zu.

Da die Theorie für praktische Probleme keine Lösungen bereitstellen kann, sind die Navier-Stokes-Gleichungen ein wichtiges Anwendungsfeld der numerischen Mathematik. Der Teilbereich, der sich mit der Konstruktion von numerischen Näherungsverfahren für die Navier-Stokes-Gleichungen beschäftigt, ist die numerische Strömungsmechanik oder Computational Fluid Dynamics (CFD).

Numerische Lösung

Visualisierung der numerischen Berechnung der Windströmung um ein Haus.

Bei der numerischen Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen kommen Verfahren der numerischen Strömungsmechanik zum Einsatz. Als Diskretisierungen werden sowohl Finite-Differenzen-, Finite-Elemente- und Finite-Volumen-Verfahren sowie für spezielle Aufgabenstellungen auch Spektralmethoden und weitere Techniken verwendet. Die Gitter müssen, um die Grenzschicht korrekt auflösen zu können, in Normalenrichtung nahe der Wand extrem fein aufgelöst sein. In Tangentialrichtung wird darauf verzichtet, so dass die Zellen an der Wand extrem große Seitenverhältnisse haben.

Die feine Auflösung zwingt wegen der Einhaltung der CFL-Bedingung (oder auch die DFL-Bedingung) bei expliziter Zeitintegration extrem kleine Zeitschritte. Deswegen werden in der Regel implizite Verfahren eingesetzt. Wegen der Nicht-linearität des Gleichungssystems muss das System iterativ (z. B. mit Mehrgitter- oder Newton-Verfahren) gelöst werden. Die Kombination aus Impuls- und Kontinuitätsgleichung bei den inkompressiblen Gleichungen weist eine Sattelpunktstruktur auf, die hierbei ausgenutzt werden kann.

Ein einfaches Modell zur Simulation von Flüssigkeiten, das im hydrodynamischen Limit die Navier-Stokes-Gleichung erfüllt, ist das FHP-Modell. Dessen Weiterentwicklung führt auf die Lattice-Boltzmann-Methoden, welche besonders im Kontext der Parallelisierung zur Ausführung auf Supercomputern attraktiv sind.

Im Bereich der Computergrafik wurden mehrere numerische Lösungsverfahren verwendet, bei denen durch bestimmte Annahmen eine Echtzeit-Darstellung erreicht werden kann, wobei jedoch teilweise die physikalische Korrektheit nicht immer gewährt ist. Ein Beispiel hierfür ist das von Jos Stam entwickelte "Stable Fluids"-Verfahren. Hierbei wurde die Chorin'sche Projektionsmethode für den Bereich der Computergrafik verwendet.

Berechnung von turbulenten Strömungen

Visualisierung der Large Eddy Simulation einer Kármánschen Wirbelstraße. (Bild anklicken zum Start der Animation)

Um turbulente Strömungen zu berechnen, können die Navier-Stokes-Gleichungen direkt numerisch berechnet werden. Jedoch erzwingt die Auflösung der einzelnen Turbulenzen ein sehr feines Gitter, so dass dies eigentlich nur in der Forschung unter Zuhilfenahme von Supercomputern und bei kleinen Reynolds-Zahlen möglich ist. In der Praxis hat sich die Lösung der Reynolds-Gleichungen durchgesetzt. Hier ist jedoch ein Turbulenzmodell nötig, um das Gleichungssystem zu schließen. Als Mittelweg gilt die Large Eddy Simulation, die zumindest die großen Wirbel direkt numerisch berechnet und erst die kleinen Skalen über ein Turbulenzmodell simuliert.

Vereinfachungen der Navier-Stokes-Gleichungen

Auf Grund der schwierigen Lösbarkeitseigenschaften der Navier-Stokes-Gleichungen wird man in den Anwendungen (soweit dies physikalisch sinnvoll ist) versuchen, vereinfachte Versionen der Navier-Stokes-Gleichungen zu betrachten.

Euler-Gleichungen

→ Hauptartikel: Euler-Gleichungen

Werden die Terme zweiter Ordnung, wie Reibung, vernachlässigt (η=0; λ=0), so erhält man die Euler-Gleichungen (hier für den inkompressiblen Fall)

$\rho{ \frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} } + \rho(\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v} =-\nabla p + \mathbf{f}.$

Die kompressiblen Euler-Gleichungen spielen insbesondere in der Aerodynamik eine Rolle als Approximation der vollen Navier-Stokes-Gleichungen.

Stokes-Gleichung

Eine andere Art von Vereinfachungen ist in der Geodynamik üblich, wo der Mantel der Erde (oder anderer terrestrischer Planeten) als eine extrem zähe Flüssigkeit behandelt wird (Schleichende Strömung). In dieser Näherung ist die Diffusivität des Impulses, d. h. die kinematische Viskosität, viele Größenordnungen höher als die thermische Diffusivität, und der Trägheitsterm kann vernachlässigt werden. Dies ergibt die Stokes-Gleichung:

$-\nabla p+\eta \cdot \Delta \mathbf{v}+\mathbf{f}=0.$

Wendet man die Helmholtz-Projektion P auf die Gleichung an, verschwindet der Druck in der Gleichung:

$\eta \cdot P\Delta \mathbf{v}+\tilde{\mathbf{f}}=0$

mit $\tilde{\mathbf{f}}=P\mathbf{f}$. Dies hat den Vorteil, dass die Gleichung nur noch von $\mathbf{v}$ abhängt. Die ursprüngliche Gleichung erhält man mit

$\nabla p=(\operatorname{Id}-P)(\Delta\mathbf{v}+f)$

PΔ wird auch Stokes-Operator genannt.

Andererseits haben Geomaterialien eine komplizierte Rheologie, die dazu führt, dass die Viskosität nicht als konstant angesehen wird. Für den inkompressiblen Fall ergibt dies:

$-\nabla p+ \nabla\cdot\{\eta[\nabla\mathbf{v}+(\nabla\mathbf{v})^\mathrm{T}]\}+ \mathbf{f}=0$.

Boussinesq-Approximation

→ Hauptartikel: Boussinesq-Approximation

Für gravitationsabhängige Strömungen mit kleinen Dichtevariationen und nicht zu großen Temperaturschwankungen wird häufig die Boussinesq-Approximation verwendet.

Literatur

• G. K. Batchelor: An introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 2000, ISBN 0-521-66396-2 (Cambridge mathematical library).
• Alexandre Chorin, Jerrold Marsden: A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics. 3rd Edition corrected, 3rd printing. Springer, New York NY u. a. 1998, ISBN 3-540-97918-2 (Texts in Applied Mathematics 4).
• Landau, L. D. und E. M. Lifschitz: Lehrbuch der theoretischen Physik, Band VI Hydrodynamik, Akademie Verlag Berlin, 1991, ISBN 3-05-500070-6.
• Pierre-Louis Lions: Mathematical Topics in Fluid Mechanics. Volume 1: Incompressible Models. Clarendon Press, Oxford u. a. 1996, ISBN 0-19-851487-5 (Oxford lecture series in mathematics and its applications 3).
• Pierre-Louis Lions: Mathematical Topics in Fluid Mechanics. Volume 2: Compressible Models. Clarendon Press, Oxford u. a. 1998, ISBN 0-19-851488-3 (Oxford lecture series in mathematics and its applications 10).
• Thomas Sonar: Turbulenzen um die Fluidmechanik. Spektrum der Wissenschaft Dossier 6/2009: „Die größten Rätsel der Mathematik“, ISBN 978-3-941205-34-5, Seite 64–73.
• Karl Wieghardt: Theoretische Strömungslehre. 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. Teubner, Stuttgart 1974, ISBN 3-519-12034-8 (Leitfäden der angewandten Mathematik und Mechanik. 4 = Teubner-Studienbücher), (Nachdruck: Universitäts-Verlag Göttingen, Göttingen 2005, ISBN 3-938616-33-4 (Göttinger Klassiker der Strömungsmechanik 2)).

Weblinks

• Beschreibung des Millennium-Problems Navier-Stokes-Gleichungen (PDF; 98 kB)

Einzelnachweise

1. ↑ http://www.ics2011.pl/artic/SP64_511-515_T.Ha.pdf
2. ↑ Batchelor, Landau-Lifschitz
3. ↑ Chorin, Lions
4. ↑ Thomas Sonar: Turbulenzen um die Fluidmechanik. Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft, April 2009, S. 78-87.
5. ↑ Charles Hirsch: Numerical computation of internal and external flows I. Wiley & Sons, Chichester u. a. 1988–1990 (Wiley series in numerical methods in engineering).
6. ↑ siehe Landau und Lifschitz, § 15.