Poincaré-Bendixson-Theorem

In der Mathematik ist das Poincaré–Bendixson-Theorem ein Satz über das Verhalten von Bahnkurven in zweidimensionalen stetigen dynamischen Systemen.

Theorem

Das Theorem existiert in einigen äquivalenten Formulierungen. Eine allgemeine Version ist die folgende:^[1]

Gegeben sei ein differenzierbares dynamisches System $\dot{\vec{x}} = f(\vec{x})$ das auf einer offenen Teilmenge der Ebene definiert ist, $\vec{x}\in\mathbb{R}^2$. Dann ist jede kompakte ω-Limesmenge die nur endlich viele kritische Punkte enthält entweder

• ein kritischer Punkt,
• ein periodischer Orbit, oder
• eine zusammenhängende Menge bestehend aus einer endlichen Anzahl von kritischen Punkten zusammen mit homoklinen bzw. heteroklinen Orbits die diese verbinden.

Im letzten Fall gibt es höchstens ein Orbit das verschiedene kritische Punkte in der gleichen Richtung verbindet. Es kann allerdings für einen kritischen Punkt mehr als einen homoklinen Orbit geben.

Man beachte, dass dieser Satz in höheren Dimensionen falsch ist. Das liegt vor allem an der Anwendung des jordanschen Kurvensatzes im Beweis.

Geschichte

Eine schwächere Form dieses Satzes wurde ursprünglich von dem französischen Mathematiker Henri Poincaré verfasst^[2], obwohl er keinen vollständigen Beweis kannte. Im Jahr 1901 schließlich bewies der schwedische Mathematiker Ivar Bendixson den vollständigen Satz^[3].

Literatur

1. ↑ Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. American Mathematical Society, Providence 2011 (freie Onlineversion).
2. ↑ Poincaré, H. (1892), "Sur les courbes définies par une équation différentielle", Oeuvres, 1, Paris
3. ↑ Bendixson, Ivar (1901), "Sur les courbes définies par des équations différentielles", Acta Mathematica (Springer Netherlands) 24 (1): 1–88, doi:10.1007/BF02403068