Jordanscher Kurvensatz

geschlossene Jordankurve

Der jordansche Kurvensatz ist ein wichtiges Ergebnis im mathematischen Teilgebiet der Topologie. Jede geschlossene Jordankurve in der euklidischen Ebene zerlegt diese in zwei disjunkte Gebiete, deren gemeinsamer Rand die Jordankurve ist und deren Vereinigung mit der Jordankurve die ganze Ebene ist. Genau eines der beiden Gebiete ist beschränkt.

Geschichte

Dieser Satz erscheint so offensichtlich, dass Generationen von Mathematikern ihn benutzt haben, ohne ihn explizit zu formulieren, geschweige denn ihn zu beweisen. Der Beweis ist allerdings äußerst schwierig und aufwändig. Ein erster – noch inkorrekter – Beweisversuch wurde 1887 von Camille Jordan im dritten Band seines Werks Cours d'Analyse de l'Ecole Polytechnique veröffentlicht. Der erste korrekte Beweis des jordanschen Kurvensatzes wurde 1905 von Oswald Veblen erbracht. Der Jordansche Kurvensatz findet heute etwa in Geoinformationssystemen Anwendung beim Punkt-in-Polygon-Test nach Jordan.

Verallgemeinerung

Der jordansche Kurvensatz wurde von Luitzen Brouwer zum sogenannten Jordan-Brouwer-Zerlegungssatz verallgemeinert. Dieser Satz besagt, dass das Komplement einer kompakten (n − 1)-dimensionalen Untermannigfaltigkeit des $\mathbb{R}^n$ genau zwei Zusammenhangskomponenten besitzt. Jeweils eine der beiden hat die Eigenschaft, dass ihr Abschluss eine kompakte berandete Mannigfaltigkeit bildet, deren Rand genau die genannte Untermannigfaltigkeit ist. Der Beweis dieses Satzes wird meist mit dem Abbildungsgrad oder mit Hilfe der algebraischen Topologie geführt.

Eine andere Verallgemeinerung ist der Satz von Schoenflies, nach dem jeder Homöomorphismus zwischen dem Einheitskreis und einer Jordankurve in der Ebene auf die ganze Ebene fortgesetzt werden kann. Hier gilt die Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen jedoch nicht.

Literatur

• M. C. Jordan: Cours d'Analyse de l'Ecole Polytechnique, Band 3, Paris (1887). Die Passage zum jordanschen Kurvensatz ist auch als PDF-Dokument verfügbar.
• Oswald Veblen: Theory on plane curves in non-metrical analysis situs. In: Transactions of the American Mathematical Society, Band 6 (1905), S. 83–98.