Poisson-Mannigfaltigkeit

Als Poisson-Mannigfaltigkeit bezeichnet man in der Mathematik eine differenzierbare Mannigfaltigkeit M, die mit einer bilinearen Algebra $C^\infty(M) \times C^\infty(M) \to C^\infty(M)$ der glatten Funktionen auf M versehen ist, welche die Eigenschaften einer Poissonklammer erfüllt.

Definition

Eine Poissonstruktur auf M ist eine bilineare Abbildung

$\{,\}_M:C^\infty(M) \times C^\infty(M) \to C^\infty(M)$

sodass die Klammer antisymmetrisch ist:

{f,g} = − {g,f}

der Jacobi-Identität genügt:

{f,{g,h}} + {g,{h,f}} + {h,{f,g}} = 0

und eine Derivation darstellt:

{fg,h} = f{g,h} + {f,h}g

für alle $f,g,h \in C^\infty(M)$

Beispiele und Anwendungen

Insbesondere ist jede symplektische Mannigfaltigkeit auch eine Poisson-Mannigfaltigkeit. In diesem Fall ist dann die definierende Struktur

$\{f, g\} := \sum_{ij}\omega^{ij}\,\partial_i f\, \partial_j g\,$

durch eine 2-Form $\textstyle \omega=\sum_{ij}\omega_{ij}\,\mathrm dx^i\,\mathrm d x^j$, beziehungsweise deren Komponenten ω_ij in lokalen Koordinaten gegeben.

Poisson-Mannigfaltigkeiten können als algebraische Abstraktion von symplektischen Mannigfaltigkeit angesehen werden. Unterschiede bestehen neben einer viel größeren Klasse von Morphismen dann auch zum Beispiel darin, dass die Bedingung fallengelassen wird, die Poissonklammer solle nirgends singulär sein, also vollen Rang haben.

Anwendung findet dieser Kalkül beispielsweise in der Deformationstheorie. Er bietet dort Zugänge zur nichtkommutativen Geometrie und geometrischen Quantisierung.