Symplektische Mannigfaltigkeit

Die symplektische Mannigfaltigkeit ist das zentrale Objekt der symplektischen Geometrie einem Teilgebiet der Differentialgeometrie. Die symplektischen Mannigfaltigkeiten haben eine sehr starke Beziehung zur Theoretischen Physik.

Definition

Die symplektische Mannigfaltigkeit ist eine glatte Mannigfaltigkeit M zusammen mit einer symplektischen Form ω, das heißt einer globalen, glatten und geschlossenen 2-Form, die punktweise nicht ausgeartet ist (siehe auch symplektischer Raum). „Geschlossen“ meint dω = 0.^[1]

Symplektische Mannigfaltigkeiten müssen eine geradzahlige Dimension haben, da antisymmetrische Matrizen in ungeraden Dimensionen nicht invertierbar sind.

Poisson-Klammer

→ Hauptartikel: Poisson-Klammer

Da die Form $\textstyle \omega=\sum_{ij}\omega_{ij}\,\mathrm dx^i\wedge\mathrm d x^j$ nicht ausgeartet ist, definiert sie mit ihrem Inversen an jedem Punkt eine bilineare Abbildung von Eins-Formen $\textstyle \eta=\sum_i\eta_i\, \mathrm d x^i$ und $\textstyle \chi=\sum_j\chi_j\, \mathrm d x^j$

$\Omega(\eta,\chi) =\sum_{ij} \omega^{ij}\,\eta_i\, \chi_j\,,\quad \sum_j \omega^{ij}\omega_{jk}=\delta^i{}_k$

und die Poisson-Klammer der Funktionen f und g,

$\{f, g\}=\Omega(\mathrm d f, \mathrm d g) = \sum_{ij}\omega^{ij}\,\partial_i f\, \partial_j g\,.$

Hamilton’scher Fluss

In einem Euklidischen Raum ist der Gradient einer Funktion f dasjenige Vektorfeld g_f, dessen Skalarprodukt $\langle g_f,w\rangle$ für jedes gegebene Vektorfeld w mit der Anwendung von df auf w übereinstimmt,

$\langle g_f,w\rangle =\mathrm d f[w] = w[f]\,.$

In einer Symplektischen Mannigfaltigkeit gehört zu gegebenem f und einer gegebenen beliebigen Funktion h das Vektorfeld

$v_h:f\mapsto \{f,h\}\,,$

das Funktionen f längs einer Integralkurve der zu h (interpretiert als sog. Hamiltonfunktion des Systems) gehörigen hamiltonschen Gleichungen ableitet. Die Rolle von w wird hier also durch h übernommen, und es wird für h die Symplektische Geometrie bzw. die Hamilton’sche Dynamik benutzt.

Das Vektorfeld $\,v_h$ ist also der Symplektische Gradient von h oder der infinitesimale Hamilton’sche Fluss von h.

Satz von Darboux

Der Satz von Darboux benannt nach dem Mathematiker Jean Gaston Darboux besagt:

In der Umgebung jedes Punktes einer symplektischen Mannigfaltigkeit gibt es lokale Koordinatenpaare $(\mathrm q_i\,, \mathrm p_i)$ mit

$\omega = \sum_{i} \mathrm d q_i \and \mathrm d p_i\,.$

Ein Beweis findet sich im Buch von V. I. Arnold in Kapitel 8.^[2]. Die so definierten Koordinatenpaare werden als „kanonisch konjugiert“ bezeichnet.

Beziehung zur Hamiltonschen Mechanik

In der Hamiltonschen Mechanik ist der Phasenraum eine symplektische Mannigfaltigkeit mit der geschlossenen, symplektischen Form

$\omega = \sum_{i} \mathrm d q_i \and \mathrm d p_i\,,\ \mathrm d \omega = 0\,.$

Dies ist kein Spezialfall, denn nach dem Satz von Darboux lässt sich ω in lokalen Koordinaten immer als $\textstyle \sum_{i} \mathrm d q_i \and \mathrm d p_i\$ schreiben. Bei symplektischen Mannigfaltigkeiten handelt es sich um die Phasenräume Hamiltonscher Mechanik.

Die mathematische Aussage bzgl. ω ist in der Tat äquivalent zu den sog. Kanonischen Gleichungen der Theoretischen Physik, speziell in der Analytischen Mechanik.

In diesem Zusammenhang ist auch das sog. Liouville-Theorem von Bedeutung, das in der Statistischen Physik eine grundlegende Rolle spielt. Es besagt im Wesentlichen, dass bei Hamilton'schen Flüssen das Phasenraumvolumen konstant bleibt, was für die Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsmaße dieser Theorie entscheidend ist.

Siehe auch

• Kanonische Transformation, speziell den Absatz „Symplektische Struktur“

Literatur

• V. I. Arnold: Mathematical Methods of Classical Mechanics.2. Auflage, Springer-Verlag, 1989, ISBN 0-387-96890-3.
• Rolf Berndt: "Einführung in die Symplektische Geometrie" 1. Auflage, Vieweg Verlag, 1998, ISBN 978-3-528-03102-2.

Weblinks

• Artikel Symplectic Structure in Springer Online Reference
• Artikel in Weisstein, Encyclopedia of Mathematics, bei Math World
• Dusa McDuff Symplectic structures - a new approach to geometry, Notices AMS, November 1998, pdf Datei

Einzelnachweise

1. ↑ Definition symplektischer Mannigfaltigkeiten nach Vladimir I. Arnold Mathematical Methods of Classical Mechanics. 2. Auflage, Springer, 1989, ISBN 0-387-96890-3, S. 201 ( Kapitel 8 – Symplectic Manifolds). Ebenso in Ana Cannas da Silva: Lectures on Symplectic Geometry. Springer, Berlin 2001, ISBN 3-540-42195-5. Manchmal wird auch auf die Forderung der Geschlossenheit verzichtet und nur die Existenz einer symplektischen Struktur gefordert.
2. ↑ V. I. Arnold: Mathematical Methods of Classical Mechanics.2. Auflage, Springer, 1989, ISBN 0-387-96890-3.