Proximum

Definition

Sei $(X,\operatorname{d})\,$ ein metrischer Raum, $Y\subset X$ eine Teilmenge und $x\in X$ beliebig. Der Abstand des Elements x zur Teilmenge Y wird definiert als

$\operatorname{dist}(x,Y):=\inf_{y\in Y} \operatorname{d}(x,y)$

(vergleiche hierzu Abstand zweier Mengen).

Existiert nun ein $p\in Y$ mit:

$\operatorname{d}(x,p)=\operatorname{dist}(x,Y)\,$

so nennt man p Proximum oder Bestapproximation zu x in Y.

Wenn ein Proximum existiert, so muss es nicht eindeutig sein.

Üblicherweise hat man es in der Approximationstheorie mit einem normierten Raum $(X,\lVert\cdot\rVert)$ zu tun. Ein Proximum p zu $x\in X$ in $Y\subset X$ ist dann - falls existent - charakterisiert durch die Gleichung

$\lVert x-p\rVert=\inf_{y\in Y} \lVert x-y\rVert$

Zur Existenz eines Proximums

• Sei $(X,\operatorname{d})\,$ ein metrischer Raum. $A\subset X$ sei eine kompakte Teilmenge. Dann hat jedes $x\in X$ ein Proximum in $A\,$.

• Sei $(X,\lVert\cdot\rVert)$ ein normierter Raum. $V\subset X$ sei ein endlichdimensionaler Teilraum und $Y\subset V$ abgeschlossene Teilmenge. Dann hat jedes $x\in X$ ein Proximum in $Y\,$.

Eindeutigkeit des Proximums in Tschebyschow-Systemen

Sei $f\in C[a, b], U\subset C[a, b]$ ein Tschebyschow-System. Dann ist das Proximum für f aus U eindeutig bestimmt.

Sei U ein endlichdimensionaler Unterraum von C[a,b]. Ist für jedes $f\in C[a, b]$ das Proximum aus U eindeutig bestimmt, dann ist U ein Tschebyschow-System.

Alternanten-Kriterium in Tschebyschow-Systemen

Sei $f\in C[a, b], U\subset C[a, b]$ ein n-dimensionales Tschebyschow-System. $u_0\in U$ ist genau dann ein Proximum für f aus U, wenn es n + 1 Stellen x_i mit $a\leq x_0<x_1<\cdots<x_n\leq b$ gibt, so dass

• $|f(x_i)-u_0(x_i)|=max_{x\in[a,\, b]}|f(x)-u_0(x)|$, $i=0,\,\ldots,\, n$ (Extremalpunkt)
• $sign\left(f(x_{i-1})-u_0(x_{i-1})\right)=-sign(f(x_{i})-u_0(x_{i}))$, $i=1,\,\ldots,\, n$ (alternierend)

Folgt aus dem Kolmogorow-Kriterium aus der Approximationstheorie. Auf diesem Kriterium basiert der Remez-Algorithmus zur numerischen Bestimmung des Proximums in Tschebyschow-System.

Proximum im Hilbertraum

Ist X ein Hilbertraum und $Y \subset X, Y$ eine abgeschlossener konvexe nichtleere Teilmenge (z.B. ein abgeschlossener Untervektorraum), dann ist das Proximum eindeutig, d.h. es existiert zu jedem $x \in X$ genau ein $p \in Y$ mit $\lVert x-p\rVert \le \lVert x-y\rVert\, \forall y \in Y$