Rayleigh-Quotient

Der Rayleigh-Quotient eines Vektors x zur quadratischen Matrix A ist die Zahl

$R_A(x) = \frac{x^* A x}{x^*x}$

mit $x \neq 0$. Hierbei bezeichnet $x^* = \overline x^T$ das hermitesch Transponierte von x.

Der Rayleigh-Quotient hat eine enge Beziehung zu den Eigenwerten von A. Ist x ein Eigenvektor der Matrix A und λ der zugehörige Eigenwert, dann gilt:

$R_A(x) = \frac{x^* A x}{x^*x} = \frac{x^* \lambda x}{x^*x} = \lambda$.

Durch den Rayleigh-Quotient wird jeder Eigenvektor von A auf den dazu gehörigen Eigenwert λ abgebildet. Diese Eigenschaft wird unter Anderem in der numerischen Berechnung von Eigenwerten benutzt. Insbesondere gilt für eine hermitesche positiv definite Matrix A mit dem kleinsten Eigenwert: λ_min, und dem größten Eigenwert: λ_max

$\lambda_{\rm min} \leq R_A(x) \leq \lambda_{\rm max}$.

Die Eigenvektoren hermitescher A bilden die stationären Punkte des Rayleigh-Quotienten. Dies gilt nicht für asymmetrische Matrizen. Deswegen führte Ostrowski 1958/59 den sogenannten 2-seitigen Rayleigh-Quotienten

$R_A(x,y) = \frac{y^* A x}{y^*x}$

ein, wobei $y^*x \neq 0$, der wiederum stationär an den Rechts- und Linkseigenvektoren x und y. Da für normale Matrizen Rechts- und Linkseigenvektoren übereinstimmen, fällt der 2-seitige mit dem (einseitigen) Rayleigh-Quotienten in diesem Fall zusammen.