Rechtwinkliges Dreieck

Dreieck mit dem rechten Winkel γ und der Ankathete und der Gegenkathete von α

Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck mit einem rechten Winkel.

Begriffe

Hypotenuse

Als Hypotenuse^[1] bezeichnet man die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber.

Das Verhältnis zwischen den Längen der Katheten und der Hypotenuse beschreibt der Satz des Pythagoras, der auch Hypotenusensatz heißt.

Der Mittelpunkt der Hypotenuse ist das Zentrum des Thaleskreises, des Umkreises des rechtwinkligen Dreiecks.

Kathete

Als Kathete (aus dem griechischen káthetos, das Herabgelassene, Senkblei) wird jede der beiden kürzeren Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck bezeichnet. Die Katheten sind also die beiden Seiten des rechtwinkligen Dreiecks, die den rechten Winkel bilden.

In Bezug auf einen der beiden spitzen Winkel (in der Skizze α) des Dreiecks unterscheidet man die Ankathete dieses Winkels (die dem Winkel anliegende Kathete) und die Gegenkathete (die dem Winkel gegenüberliegende Kathete).

Der Fußpunkt der Höhe über der Hypotenuse teilt diese in zwei Hypotenusenabschnitte. Der Kathetensatz und der Höhensatz machen Aussagen über die Längen dieser Teilstrecken.

Sätze

Die Beziehung zwischen den Längen der Katheten und der Hypotenuse beschreibt der Satz des Pythagoras, der auch Hypotenusensatz heißt. (Der Satz lautet: Sind a und b die Seitenlängen der Katheten und ist c die Seitenlänge der Hypotenuse, so gilt die Gleichung a² + b² = c²)

Anders formuliert besagt der Satz des Pythagoras, dass die Summe der Flächeninhalte der beiden Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse ist. Aus dieser Tatsache folgen der Katheten- und der Höhensatz (siehe auch Satzgruppe des Pythagoras).

Der Satz des Thales besagt, dass jedes Dreieck im Halbkreis ein rechtwinkliges Dreieck ist. Der Mittelpunkt der Hypotenuse ist das Zentrum des Thaleskreises, des Umkreises des rechtwinkligen Dreiecks. Weiterhin spielt die Hypotenuse eine Rolle bei den trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus.

Der Fußpunkt der Höhe teilt die Hypotenuse in zwei Hypotenusenabschnitte. Der Kathetensatz und der Höhensatz machen Aussagen über die Längen dieser Teilstrecken.

Berechnung und Konstruktion

Ein rechtwinkliges Dreieck ist vollständig bestimmt durch drei Bestimmungsstücke: den rechten Winkel, eine Seite sowie eine weitere Seite oder einen weiteren Winkel.

• Sind beide Katheten gegeben, so lässt sich das Dreieck nach dem SWS-Fall behandeln.
• Sind eine Kathete und die Hypotenuse gegeben, so wird der SSW-Fall angewandt.
• Ist ein nicht-rechter Winkel gegeben, so lässt sich über die Winkelsumme der dritte Winkel bestimmen. Danach kann man das Dreieck nach dem WSW-Fall behandeln.

Die Höhen der Katheten $h_a, \, h_b$ sind identisch mit der jeweils anderen Kathete $b, \, a$. Der Höhenschnittpunkt liegt daher im Punkt C. Der Umkreismittelpunkt liegt im Mittelpunkt der Hypotenuse. Der Schwerpunkt liegt im Dreieck auf der Gerade zwischen Höhenschnittpunkt und Umkreismittelpunkt. Siehe auch Ausgezeichnete Punkte im Dreieck.

Mathematische Formeln zum rechtwinkligen Dreieck

Flächeninhalt:	$A=\frac{a\cdot b}{2}$
Umfang:	U = a + b + c
Höhe:	$h=\frac{a\cdot b}{c}$
Winkel:	$\alpha+\beta=\gamma=90^\circ$

Weblinks

 Wiktionary: Hypotenuse – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

 Wiktionary: Kathete – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Rechtwinkliges Dreieck auf Webseite der TU Freiberg
• Rechner für interaktive Dreiecksberechnungen
• Eric W. Weisstein: rechtwinkliges Dreieck. In: MathWorld. (englisch)

Anmerkungen und Einzelnachweise

1. ↑ Die Bezeichnung „Hypotenuse“ kommt von dem gleichbedeutenden, altgriechischischen Begriff ὑποτείνουσα, hypoteinousa, der von: hypo - unter und teinein - spannen, sich erstrecken abgeleitet ist.