- Ausgezeichnete Punkte im Dreieck
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Umkreismittelpunkt (blau), Schwerpunkt (rot) und Höhenschnittpunkt (grün) liegen auf einer Geraden
In der Geometrie versteht man unter den ausgezeichneten Punkten (auch: merkwürdigen Punkten) eines Dreiecks in erster Linie die folgenden vier Punkte:
- den Höhenschnittpunkt H (Schnittpunkt der Höhen),
- den Umkreismittelpunkt U (Schnittpunkt der Mittelsenkrechten (Seitensymmetralen)),
- den Inkreismittelpunkt I (Schnittpunkt der Winkelhalbierenden (Winkelsymmetralen)) und
- den Schwerpunkt S (Schnittpunkt der Seitenhalbierenden (Schwerlinien)).
Der Höhenschnittpunkt, der Umkreismittelpunkt und der Schwerpunkt liegen immer auf einer Geraden, der eulerschen Geraden. Auf ihr, und zwar in der Mitte zwischen H und U, liegt auch der Mittelpunkt des Feuerbachkreises.
Inhaltsverzeichnis
Weitere Punkte nach der Encyclopedia of Triangle Centers
Neben den vier "klassischen" ausgezeichneten Punkten eines Dreiecks (Schwerpunkt, Umkreismittelpunkt, Inkreismittelpunkt, Höhenschnittpunkt), die schon in der Antike bekannt waren, wurden in den letzten Jahrhunderten viele weitere Punkte gefunden und untersucht. Clark Kimberling's Encyclopedia of Triangle Centers (siehe Weblink) führt mehr als 3000 besondere Punkte und ihre wichtigsten Eigenschaften auf. Die in diesem Verzeichnis eingeführte Standardbezeichnung, bestehend aus dem Buchstaben X und einem Index, wird heute in vielen Abhandlungen zur Dreiecksgeometrie verwendet. Die folgende Tabelle nennt einige wichtige Beispiele:
Ausgezeichnete Punkte im Dreieck Inkreismittelpunkt X1 Schwerpunkt X2 Umkreismittelpunkt X3 Höhenschnittpunkt (Orthozentrum) X4 Mittelpunkt des Feuerbach-Kreises X5 Lemoine-Punkt (Symmedianenpunkt, Grebe-Punkt) X6 Gergonne-Punkt X7 Nagel-Punkt X8 Mittenpunkt X9 Spieker-Punkt (Spieker-Zentrum) X10 1. Fermat-Punkt X13 2. Fermat-Punkt X14 1. isodynamischer Punkt X15 2. isodynamischer Punkt X16 1. Napoleon-Punkt X17 2. Napoleon-Punkt X18 Longchamps-Punkt X20 Schiffler-Punkt X21 Kosnita-Punkt X54 Isoperimetrischer Punkt X175 Punkt des gleichen Umwegs X176 1. Vecten-Punkt X485 2. Vecten-Punkt X486 Verwandte Themen
Neben Einzelpunkten lassen sich einem Dreieck auch verschiedene Tupel von Punkten zuordnen:
Spezielle Kreise sind:
- Umkreis, Inkreis, Ankreise
- Feuerbach-Kreis (Neun-Punkte-Kreis)
- Lamoen-Kreis
- Taylor-Kreis
- Johnson-Kreise
Weblinks
- Clark Kimberling's Encyclopedia of Triangle Centers
- Merkwürdige Punkte und Linien am Dreieck
- Besondere Punkte beim Dreieck Animation mit Konstruktionsmöglichkeit, Landesbildungsserver Baden-Württemberg
- Lehrsätze zum Dreieck - Visualisierungen mit GeoGebra
Literatur
- Ilka Agricola, Thomas Friedrich: Elementargeometrie. 2. Auflage, Vieweg+Teubner Verlag Wiesbaden, 2009. ISBN 978-3-8348-0576-8
- Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49327-3
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