Rodriguez-Formel

Die Rodrigues-Formel ist eine Formel für die einer antisymmetrischen 3*3 Matrix, welche in Matrixform ein Kreuzprodukt beschreibt. Sie lautet :

$\exp([a]_{\times}) = I + \sin(\|a\|) \begin{bmatrix}\dfrac{a}{\|a\|}\end{bmatrix}_{\times} + (1 - \cos(\|a\|)) \begin{bmatrix}\dfrac{a}{\|a\|}\end{bmatrix}_{\times}^2$

Ihre Hauptanwendung, liegt darin, dass das Ergebnis eine Drehung um Achse a mit Winkel $\|a\|$ als Matrix beschreibt.

Herleitung

Die Exponentialfunktion lässt sich in eine unendliche , die für alle Werte aus $\mathbb{R}$ , darstellen als:

$\exp(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

Die Gleichung kann auch für beliebige quadratische angewendet werden. Eine, die sich wegen ihrer besonderen Eigenschaften dafür eignet ist die Matrix des . Sie lautet für den dreidimensionalen, reellen Raum $\mathbb{R}^3$:

$\vec{a} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix} \qquad [a]_{\times}= \begin{pmatrix} 0 & -a_3 & a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{pmatrix}$

Mit einer Matrixmultiplikation lässt sich folgende Gleichung auflösen :

$[a]_{\times}^3 = [a]_{\times} \cdot [a]_{\times} \cdot [a]_{\times} = - \|a\|^2 \cdot [a]_{\times}$

Das bedeutet, dass eine Matrix mit einem beliebigem Exponenten, der größer 2 ist, reduziert werden kann.

Für und gibt es ebenfalls Taylorentwicklungen. Sie lauten :

$\sin (x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$

$\cos (x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\cdots$

Diese Gleichungen können kombiniert werden : Terme mit geradem Exponenten können durch die Cosinus-Entwicklung und Terme mit ungeradem Exponenten durch die Sinus-Entwicklung ersetzt werden. Nach einigen Vereinfachungen erhält man die Rodriguez-Gleichung.

Eigenschaften

Sei $R(x) = \exp([a]_{\times})$. Dann gilt :

R( − x) = R(x) ^{− 1} = R(x)^T

$R(x) \cdot x = x$

Anwendung

Vor allem in der und in der spielt die Rodriguezformel eine Rolle. Es existiert immer ein Koordinatensystem, definiert durch $\left(e_1, e_2, \dfrac{a}{\|a\|}\right)$, in dem für einen Vektor $\vec{a}$ gilt:

$\vec{a} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ \alpha\end{pmatrix}$

Das bedeutet, dass die Matrix $\exp([a]_{\times})$ eine Rotation um die Achse $\dfrac{a}{\|a\|}$ repräsentiert. Der Drehwinkel ist dabei $\|a\|$, also die Länge des Vektors.

Literatur

• Ismail, M.E.H.: Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable. Cambridge UK: Cambridge University Press, 2005. ISBN 978-0-521-78201-2
• Faugeras, O.: Three-Dimensional Computer Vision - A Geometric Viewpoint. Cambridge MA: MIT Press, 1993. ISBN 978-0-262-06158-2