Sandwich Theorem

Der Einschnürungssatz (auch Dreifolgensatz oder englisch sandwich theorem) ist in der Analysis ein Satz über den Grenzwert einer Funktion. Gemäß dem Einschnürungssatz strebt eine Funktion, die von oben und unten durch zwei gegen denselben Wert strebenden Funktionen "eingezwängt" wird, auch gegen diesen Wert.

Der Einschnürungssatz wird typischerweise dazu verwendet, einen Grenzwert einer Funktion nachzuweisen, indem man die Funktion mit zwei anderen vergleicht, deren Grenzwerte bekannt oder einfach zu bestimmen sind. Es wurde geometrisch schon von den Mathematikern Archimedes und Eudoxus verwendet, um die Kreiszahl π zu berechnen. Die moderne Formulierung des Satzes stammt ursprünglich von Carl Friedrich Gauß.

Formale Beschreibung

Es sei I ein Intervall, das einen Wert a enthält. Es seien f, g und h auf $I\setminus\lbrace a\rbrace$ definierte Funktionen. Wenn für jedes $x\neq a$ aus I gilt

$g(x) \leq f(x) \leq h(x),$

sowie

$\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$,

dann ist $\lim_{x \to a} f(x) = L$.

a muss nicht inmitten von I liegen. Ist a Randpunkt von I, so handelt es sich bei obigen Grenzwerten um links- bzw. rechtsseitige. Ähnliches gilt auch für unendliche Intervalle: Ist beispielsweise $I=[0,\infty)$, so gilt der Satz auch für die Grenzwertuntersuchung $x\to\infty$.

Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus der ε-δ-Definition des Grenzwertes, weil mit g(x) und h(x) auch stets f(x) in einer ε-Umgebung von L liegt.

Beispiele und Anwendungen

Die folgenden Beispiele zeigen, wie der Satz praktisch angewendet wird.

Beispiel 1

f (rot) mit Schrankenfunktionen g (blau) und h (grün)

Man betrachte $f(x)=x^2\sin\tfrac{1}{x}$, das auf ganz $\mathbb{R}$ außer für x = 0 definiert ist. Den Grenzwert für $x\to0$ auf konventionelle Art zu berechnen fällt schwer: Eine direkte Substitution schlägt fehl, weil die Funktion bei x = 0 nicht definiert ist (geschweige denn stetig), und die Regel von L'Hospital kann auch nicht angewendet werden, da $\sin\tfrac{1}{x}$ überall oszilliert und keinen Grenzwert hat. Mit passenden oberen und unteren Schrankenfunktionen lässt sich jedoch der Einschnürungssatz anwenden.

Da die Sinusfunktion beträgsmäßig durch 1 begrenzt ist, ist x² betragsmäßig eine passende Schranke für f. In anderen Worten gilt mit g(x) = − x² und h(x) = x²:

$\begin{matrix} -1 &\leq& \sin\frac{1}{x} &\leq& 1 \\ -x^2 &\leq& x^2\sin\frac{1}{x} &\leq& x^2 \\ g(x) &\leq& f(x) &\leq& h(x) \end{matrix}$

g und h sind Polynomfunktionen und deshalb stetig, daher gilt

$\lim_{x\to0} g(x) = \lim_{x\to0} h(x) = 0$.

Aus dem Sandwich-Theorem folgt nun

$\lim_{x\to0} f(x) = 0$.

Beispiel 2

Das obige Beispiel ist eine spezielle Anwendung eines häufig auftretenden allgemeinen Falles. Angenommen, wir wollen zeigen, dass

$\lim_{x\to a} f(x) = L$.

Es ist dann ausreichend, eine Funktion h zu finden, die auf einem a enthaltenden Intervall I definiert ist (außer möglicherweise bei a), für die gilt

$\lim_{x\to a} h(x) = 0$,

und außerdem für alle $x\neq a$ aus I gilt

$| f(x) - L | \leq h(x)$.

In Worten gesprochen heißt das, dass der Fehler zwischen f(x) und L beliebig klein gemacht werden kann, wählt man x nahe genug an a. Diese Bedingungen sind ausreichend, da die Betragsfunktion überall nicht negativ ist, so dass wir

g(x) = 0 für alle x

wählen können und den Einschnürungssatz anwenden können. Da nun

für $x\to a$ gilt $|f(x) - L| \to 0$,

gilt auch $f(x) - L \to 0$ und damit

$f(x) = (f(x) - L) + L \longrightarrow 0+L=L$.

Beispiel 3

Durch elementargeometrische Überlegungen lässt sich zeigen, dass

$\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1$.

Wegen

$\lim_{x\to 0} \cos x = 1$

folgt mit dem Einschnürungssatz

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$.

Dieser Grenzwert ist bei der Bestimmung der Ableitungsfunktion des Sinus behilflich.

Weblinks

• Joseph M. Ling (2001): Examples on Limits of Functions: The Squeeze Theorem
• Dr. C. Sean Bohun: The Squeeze Theorem