Sandwich Theorem

Sandwich Theorem

Der Einschnürungssatz (auch Dreifolgensatz oder englisch sandwich theorem) ist in der Analysis ein Satz über den Grenzwert einer Funktion. Gemäß dem Einschnürungssatz strebt eine Funktion, die von oben und unten durch zwei gegen denselben Wert strebenden Funktionen "eingezwängt" wird, auch gegen diesen Wert.

Der Einschnürungssatz wird typischerweise dazu verwendet, einen Grenzwert einer Funktion nachzuweisen, indem man die Funktion mit zwei anderen vergleicht, deren Grenzwerte bekannt oder einfach zu bestimmen sind. Es wurde geometrisch schon von den Mathematikern Archimedes und Eudoxus verwendet, um die Kreiszahl π zu berechnen. Die moderne Formulierung des Satzes stammt ursprünglich von Carl Friedrich Gauß.

Inhaltsverzeichnis

Formale Beschreibung

Es sei I ein Intervall, das einen Wert a enthält. Es seien f, g und h auf I\setminus\lbrace a\rbrace definierte Funktionen. Wenn für jedes x\neq a aus I gilt

g(x) \leq f(x) \leq h(x),

sowie

\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L,

dann ist \lim_{x \to a} f(x) = L.

a muss nicht inmitten von I liegen. Ist a Randpunkt von I, so handelt es sich bei obigen Grenzwerten um links- bzw. rechtsseitige. Ähnliches gilt auch für unendliche Intervalle: Ist beispielsweise I=[0,\infty), so gilt der Satz auch für die Grenzwertuntersuchung x\to\infty.

Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus der ε-δ-Definition des Grenzwertes, weil mit g(x) und h(x) auch stets f(x) in einer ε-Umgebung von L liegt.

Beispiele und Anwendungen

Die folgenden Beispiele zeigen, wie der Satz praktisch angewendet wird.

Beispiel 1

f (rot) mit Schrankenfunktionen g (blau) und h (grün)

Man betrachte f(x)=x^2\sin\tfrac{1}{x}, das auf ganz \mathbb{R} außer für x = 0 definiert ist. Den Grenzwert für x\to0 auf konventionelle Art zu berechnen fällt schwer: Eine direkte Substitution schlägt fehl, weil die Funktion bei x = 0 nicht definiert ist (geschweige denn stetig), und die Regel von L'Hospital kann auch nicht angewendet werden, da \sin\tfrac{1}{x} überall oszilliert und keinen Grenzwert hat. Mit passenden oberen und unteren Schrankenfunktionen lässt sich jedoch der Einschnürungssatz anwenden.

Da die Sinusfunktion beträgsmäßig durch 1 begrenzt ist, ist x2 betragsmäßig eine passende Schranke für f. In anderen Worten gilt mit g(x) = − x2 und h(x) = x2:

\begin{matrix} -1 &\leq& \sin\frac{1}{x} &\leq& 1 \\ -x^2 &\leq& x^2\sin\frac{1}{x} &\leq& x^2 \\ g(x) &\leq& f(x) &\leq& h(x) \end{matrix}

g und h sind Polynomfunktionen und deshalb stetig, daher gilt

\lim_{x\to0} g(x) = \lim_{x\to0} h(x) = 0.

Aus dem Sandwich-Theorem folgt nun

\lim_{x\to0} f(x) = 0.

Beispiel 2

Das obige Beispiel ist eine spezielle Anwendung eines häufig auftretenden allgemeinen Falles. Angenommen, wir wollen zeigen, dass

\lim_{x\to a} f(x) = L.

Es ist dann ausreichend, eine Funktion h zu finden, die auf einem a enthaltenden Intervall I definiert ist (außer möglicherweise bei a), für die gilt

\lim_{x\to a} h(x) = 0,

und außerdem für alle x\neq a aus I gilt

| f(x) - L | \leq h(x).

In Worten gesprochen heißt das, dass der Fehler zwischen f(x) und L beliebig klein gemacht werden kann, wählt man x nahe genug an a. Diese Bedingungen sind ausreichend, da die Betragsfunktion überall nicht negativ ist, so dass wir

g(x) = 0 für alle x

wählen können und den Einschnürungssatz anwenden können. Da nun

für x\to a gilt |f(x) - L| \to 0,

gilt auch f(x) - L \to 0 und damit

f(x) = (f(x) - L) + L \longrightarrow 0+L=L.

Beispiel 3

Durch elementargeometrische Überlegungen lässt sich zeigen, dass

\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1.

Wegen

\lim_{x\to 0} \cos x = 1

folgt mit dem Einschnürungssatz

\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.

Dieser Grenzwert ist bei der Bestimmung der Ableitungsfunktion des Sinus behilflich.

Weblinks


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Sandwich-Theorem — Der Einschnürungssatz (auch Dreifolgensatz oder englisch sandwich theorem) ist in der Analysis ein Satz über den Grenzwert einer Funktion. Gemäß dem Einschnürungssatz strebt eine Funktion, die von oben und unten durch zwei gegen denselben Wert… …   Deutsch Wikipedia

  • Ham sandwich theorem — In measure theory, a branch of mathematics, the ham sandwich theorem, also called the Stone–Tukey theorem after Arthur H. Stone and John Tukey, states that given n objects in n dimensional space, it is possible to divide all of them in half… …   Wikipedia

  • Sandwich (disambiguation) — A sandwich is a food item typically made of two pieces of bread with layers of other kinds of food between them.Sandwich may also refer to: *The Earl of Sandwich *John Montagu, 4th Earl of Sandwich *Sandwich (band) *Sandwich structured composite …   Wikipedia

  • Sándwich de jamón — Una variedad de sándwich de jamón tipo sub . El sándwich de jamón o emparedado de jamón es un tipo de sándwich muy común. Se prepara colocando el jamón cortado entre dos rebanadas de pan.[1] …   Wikipedia Español

  • Teorema del sándwich de jamón — Para el teorema sobre el límite de una función comprendida entre otras, ver Teorema del sándwich En la teoría de la medida, una rama de las matemáticas, el Teorema del sandwich de jamón (Ham sandwich theorem), también llamado Teorema de Stone… …   Wikipedia Español

  • Squeeze theorem — In calculus, the squeeze theorem (known as the pinching theorem, the sandwich theorem and sometimes the squeeze lemma) is a theorem regarding the limit of a function.The squeeze theorem is a technical result which is very important in proofs in… …   Wikipedia

  • Théorème du sandwich au jambon — Le théorème du sandwich au jambon annonce l existence d un plan qui coupe chacun des trois solides en deux parties de volumes égaux. En mathématiques, le théorème du sandwich au jambon en dimension trois s exprime de façon imagée en disant qu on… …   Wikipédia en Français

  • Borsuk–Ulam theorem — The Borsuk–Ulam theorem states that any continuous function from an n sphere into Euclidean n space maps some pair of antipodal points to the same point.(Two points on a sphere are called antipodal if they are in exactly opposite directions from… …   Wikipedia

  • Teorema del sándwich — Saltar a navegación, búsqueda En cálculo, el teorema del sándwich (llamado también teorema de encaje, teorema de intercalación, teorema del enclaustramiento, teorema de compresión,teorema de las funciones mayorante y minorante, criterio del… …   Wikipedia Español

  • Théorème de Borsuk-Ulam — En mathématiques, le théorème de Borsuk Ulam est un résultat de topologie algébrique. Il indique que pour toute fonction f continue d une sphère de dimension n, c est à dire la frontière de la boule euclidienne de Rn+1, dans un espace euclidien… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”